Числа Лейланда

Числа Лейланда — это натуральные числа, представимые в виде x^y + y^x, где x и y — целые числа больше Шаблон:Num1Шаблон:Sfn. Иногда 3 также относят к числам Лейланда.

Первые несколько чисел Лейланда:

Шаблон:Nums, …

Требование, что x и y должны быть больше чем 1, имеет ключевое значение, поскольку без него каждое натуральное число будет представимо в виде x¹ + 1^x. Кроме того, благодаря коммутативности сложения, обычно добавляют условие x ≥ y, чтобы избежать двойного покрытия чисел Лейланда. Таким образом область определения x и y определяется неравенством 1 < y ≤ x.

Простые числа Лейланда

Первые несколько простых чисел Лейланда:

17 = Шаблон:Power + Шаблон:Power,

593 = Шаблон:Power + Шаблон:Power,

Шаблон:Num = Шаблон:Power + Шаблон:Power,

Шаблон:Num = Шаблон:Power + Шаблон:Power,

Шаблон:Num = Шаблон:Power + Шаблон:Power,

Шаблон:Num = Шаблон:Power + Шаблон:Power, …

На июнь 2008 года, крупнейшим известным простым числом Лейланда являлось число

2638⁴⁴⁰⁵ + 4405²⁶³⁸

с Шаблон:Num цифрой, простота которого была доказана в 2004 году с помощью алгоритма fastECPPШаблон:Sfn.

После этого были найдены ещё большие простые числа Лейланда, например, 5122⁶⁷⁵³ + 6753⁵¹²² (25050 десятичных знаков). В декабре 2012 года было доказано, что числа 3110⁶³ + 63³¹¹⁰ (5596 десятичных знаков) и 8656²⁹²⁹ + 2929⁸⁶⁵⁶ (30008 десятичных знаков) также являются простыми. Последнее из этих чисел содержит рекордное число десятичных знаков на настоящий момент. Существуют кандидаты в простые, например, 314738⁹ + 9³¹⁴⁷³⁸, однако их простота пока не доказана.

Применение

Числа вида $x^y+y^x$ оказались удачными тестовыми примерами для универсальных алгоритмов разложения на множители из-за своего простого алгебраического описания и отсутствия очевидных свойств, которые бы позволили применить какой-либо специальный алгоритм факторизацииШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга