Числа звёздчатого октаэдра

124 магнитных шара, расположенные в форме звёздчатого октаэдра

Числа звёздчатого октаэдра (Шаблон:Lang-en) — фигурные числа, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри звёздчатого октаэдра. Эти числа равны: 0, 1, Шаблон:Nums, … (Шаблон:OEIS) и в общем случае задаются уравнением $n(2n^2-1)$. Производящая функция чисел звёздчатого октаэдра: $\frac{x(x^2+10x+1)}{(x-1{)}^4}=x+14x^2+51x^3+124x^4+...$

Формулы

Поскольку звёздчатый октаэдр можно представить как комбинацию октаэдра и восьми тетраэдров меньшего размера, формула для чисел звёздчатого октаэдра представима как $StOc{t}_n=O_n+8T_{n-1}$, где $O_n$ — $n$-ное октаэдрическое число, а $T_n$ — $n$-ное тетраэдрическое число. Поскольку $O_n=\frac{1}{3}n(2n^2+1)$, а $T_{n-1}=\frac{1}{6}(n-1)n(n+1)$, получим $StOc{t}_n=\frac{1}{3}n(2n^2+1)+\frac{8}{6}(n-1)n(n+1)=\frac{1}{3}(n(2n^2+1)+4(n-1)n(n+1))=\frac{1}{3}(2n^3+n+4n^3-4n)=\frac{1}{3}(6n^3-3n)=n(2n^2-1)$.

Рекуррентные формулы $O_{n+1}=O_n+(n+1{)}^2+n^2$ и $T_{n+1}=T_n+\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ позволяют вывести следующие равенства для чисел звёздчатого октаэдра: $StOc{t}_1=1$, $StOc{t}_{n+1}=StOc{t}_n+6n^2+6n+1$.

Уравнение Люнггрена

Единственные числа звёздчатого октаэдра, также являющиеся квадратами это $StOc{t}_1=1$ и $StOc{t}_{169}=3107^2=9653449$ Единственность нетривиального решения следует из единственности решения уравнения Шаблон:Не переведено, диофантова уравнения $y^2=2x^4-1$.