Число Кэрола

Число Кэрола — это целое вида $4^n-2^{n+1}-1$.

Эквивалентная форма — $(2^n-1{)}^2-2$.

Несколько первых чисел Кэрола:

Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, 3967, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num (Шаблон:OEIS).

Числа Кэрола впервые изучены Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel), назвавшим числа именем своего друга — Кэрола Г. Кирнона (Carol G. Kirnon).

Для n > 2 двоичное представление n-го числа Кэрола состоит из n − 2 последовательных единиц, единственного нуля и еще n + 1 последовательных единиц, или, в алгебраической форме,

$\sum _{i\ne n+2}^{2n}{2}^{i-1}.$

Таким образом, например, 47 выглядит как 101111 в двоичном виде, а 223 как 11011111. Разница между 2n-м простым числом Мерсенна и n-м числом Кэрола равна $2^{n+1}$. Это даёт ещё одно эквивалентное выражение для чисел Кэрола, $(2^{2n}-1)-2^{n+1}$. Разница между n-м числом Кайни и n-м числом Кэрола равна (n + 2)-й степени двух.

Начиная с 7 каждое третье число Кэрола делится на 7.

Таким образом, чтобы число Кэрола было простым числом, его индекс n не может иметь вид 3x + 2 для x > 0.

Первые несколько чисел Кэрола, являющихся также простыми числами:

7, 47, 223, 3967, Шаблон:Num (Шаблон:OEIS2C).

К июлю 2007 года наибольшее известное число Кэрола, являющееся простым, — число для n = Шаблон:Num, имеющее Шаблон:Num знаков. Оно найдено Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel) в мае 2007 года, используя программы MultiSieve и PrimeFormGW. Это 40-е простое Кэрола.

7-е число Кэрола и 5-е простое число Кэрола (16 127) является также простым, если переставить цифры в обратном порядке. 12-е число Кэрола и 7-е простое Кэрола (16 769 023) имеет то же свойство.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Prime Database entry for Carol(226749)
• Prime Database entry for Carol(248949)