Число Оре

Число Оре — натуральное число, среднее гармоническое делителей которого является целым числом. Понятие числа Оре введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чисел Оре:

Шаблон:Nums, …^[1].

Например, число Оре 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6. Их гармоническое среднее является целым числом:

\frac{4}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = 2 .

Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их гармоническое среднее:

\frac{12}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{10} + \frac{1}{14} + \frac{1}{20} + \frac{1}{28} + \frac{1}{35} + \frac{1}{70} + \frac{1}{140}} = 5 .

5 является целым числом, а значит, 140 является числом Оре.

Числа Оре и совершенные числа

Для любого целого числа $M$ произведение гармонического среднего и среднего арифметического его делителей равно самому числу $M$ , что непосредственно следует из определений. Таким образом, $M$ является числом Оре с гармоническим средним делителей $k$ в том и только в том случае, когда среднее арифметическое делителей является частным от деления $M$ на $k$ .

Оре показал, что любое совершенное число является числом Оре. Так как сумма делителей совершенного числа $M$ в точности равна $2 M$ , среднее делителей равно $M (2 / τ (M))$ , где $τ (M)$ означает число делителей числа $M$ . Для любого $M$ число $τ (M)$ нечётно тогда и только тогда, когда $M$ является полным квадратом, в противном случае каждому делителю $d$ числа $M$ можно сопоставить другой делитель — $M / d$ . Но никакое совершенное число не может быть полным квадратом, это следует из известных свойств чётных совершенных чисел, а нечётные совершенные числа (если такие существуют) должны иметь множитель вида $q^{α}$ , где $α \equiv 1 (\mod 4)$ . Таким образом, для совершенного числа $M$ число делителей $τ (M)$ чётно и среднее делителей является произведением $M$ на $2 / τ (M)$ . Таким образом, $M$ является числом Оре.

Оре высказал предположение, что не существует нечётных чисел Оре, кроме 1. Если гипотеза верна, то нечётных совершенных чисел не существует.

Границы и компьютерный поиск

Показано, что любое нечётное число Оре, большее 1, должно иметь степень простого делителя больше 10⁷, а также, что любое такое число должно иметь по меньшей мере три различных простых делителя. Кроме того, установлено, что не существует нечётных чисел Оре, меньших 10²⁴.

Предпринимались попытки получить с помощью компьютера список всех малых чисел Оре, в результате были найдены все числа Оре до 3.75×10¹⁰ и все числа, для которых гармоническое среднее не превышает 300.