Шестиугольник Лемуана

Показан шестиугольник Лемуана, вписанный в первую окружность Лемуана, как связный самопересекающийся шестиугольник

Шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана. В любом треугольнике шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с тремя парами вершин, лежащих попарно на каждой стороне треугольника.

В геометрии (первый) шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана. В любом треугольнике шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с тремя парами вершин, лежащих попарно на каждой стороне треугольника. Есть два определения шестиугольника, которые различаются в зависимости от порядка, в котором соединены вершины.

Площадь и периметр

Шестиугольник Лемуана можно сделать определенные двумя способами, сначала как простой шестиугольник с вершинами в точках пересечения, как определено ранее. Второй способ представляет собой самопересекающийся шестиугольник с линиями, проходящими через точку Лемуана в виде трех ребер, а три других ребра соединяют пары смежных вершин. Для простого самонепересекающегося шестиугольника, построенного внутри треугольника, с длинами сторон $a,b,c$ и площадью $\mathrm{\Delta }$ периметр задается в виде:

$p=\frac{a^3+b^3+c^3+3abc}{a^2+b^2+c^2}$,

а площадь задается в виде:

$S=\frac{a^4+b^4+c^4+a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}{{(a^2+b^2+c^2)}^2}\mathrm{\Delta }$

Для простого самопересекающегося шестиугольника, построенного внутри треугольника, периметр задается в виде:

$p=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$,

а площадь задается в виде:

$S=\frac{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}{{(a^2+b^2+c^2)}^2}\mathrm{\Delta }$.

Описанная окружность шестиугольника Лемуана

В геометрии пять точек определяют коническое сечение, так что произвольные наборы из шести точек, в общем случае вообще не лежат на коническоом сечении, не говоря уже о круге. Тем не менее, шестиугольника Лемуана (либо с порядком подключения) является вписанным в окружность шестиугольником, а это означает, что все его вершины лежат на одной окружности. Окружность шестиугольника Lemoine известна как "первая окружность Лемуана" .

Второй шестиугольник Лемуана

Второй шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые антипараллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана.

Ссылки

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Внешние ссылки

• Шаблон:Mathworld