Эластичность замещения

Эластичность замещения — применяемый в экономической теории показатель, характеризующий производственную функцию или функцию полезности, и показывающий на сколько процентов необходимо изменить отношение факторов производства (или соответственно, объемов различных благ) при изменении их предельной нормы замещения на 1 % (отношение предельных продуктов или предельных полезностей соответственно), чтобы объём выпуска оставался неизменным.

Формальное определение

Пусть задана функция $Y(x_1,x_2,...,x_n)$. Это обычно либо производственная функция от факторов $x_i$, либо функция полезности от объемов потребления благ $x_i$. Далее изложение приводится для случая производственной функции.

Обозначим $MRT{S}_{ij}$ — предельную норму замещения $j$-го фактора $i$-м фактором, а $k_{ij}$ — отношение количества этих факторов, используемых в производстве. Тогда эластичность замещения будет равна:

${\sigma }_{ij}=\frac{d\ln k_{ij}}{d\ln MRT{S}_{ij}}{|}_{Y=const}=\frac{d{k}_{ij}/k_{ij}}{dMRT{S}_{ij}/MRT{S}_{ij}}{|}_{Y=const}=\frac{d{k}_{ij}}{dMRT{S}_{ij}}\frac{MRT{S}_{ij}}{k_{ij}}{|}_{Y=const}$

При этом можно показать, что ${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$.

Можно показать, что эластичность замещения равна:

$\sigma =\frac{(1+k_{ij}MRT{S}_{ij})Y{\text{'}}_j/x_i}{Y^{\prime }{\text{'}}_{jj}MRT{S}_{ij}+Y^{\prime }{\text{'}}_{ii}/MRT{S}_{ij}-2Y^{\prime }{\text{'}}_{ij}}$

В случае однородных производственных функций она существенно упрощается:

$\sigma =\frac{Y{\text{'}}_{i}Y{\text{'}}_j}{(1-q)Y{\text{'}}_{i}Y{\text{'}}_j+qY{Y}^{\prime }{\text{'}}_{ij}}$

где $q$ — степень однородности.

В частности для стандартного случая однородности первой степени (линейной однородности) формула имеет следующий простой вид:

$\sigma =\frac{Y{\text{'}}_{i}Y{\text{'}}_j}{Y\cdot Y^{\prime }{\text{'}}_{ij}}$

Эластичность замещения для некоторых производственных функций

• Функция Кобба — Дугласа $Y=A{K}^{\alpha }{L}^{\beta }$ — эластичность замещения равна $1$ (для доказательства достаточно учесть, что эта функция является однородной степени $q=\alpha +\beta$ и воспользоваться соответствующей формулой).
• Функция CES — имеет произвольную (то есть не обязательно единичную, как в случае функции Кобба — Дугласа) постоянную эластичность замещения.
• Производственная функция Леонтьева — нулевая эластичность замещения.
• Линейная производственная функция — бесконечная эластичность замещения.

См. также

• Предельная норма технического замещения
• Эластичность (экономика)
• Функция CES