D с чертой-преобразование

D с чертой-преобразование — интегральное преобразование, связанное с непрерывным и дискретным преобразованиями Лапласа. Прямое D с чертой-преобразование ставит в соответствие изображению непрерывной функции изображение соответствующей ей дискретной функции. Оно широко применяется в разделах теории управления, связанных c дискретными системами.

Определение

Пусть $X_T(p)$ — изображение по Лапласу некоторой непрерывной функции $x_T(t)$, а $X^{*}(q,\epsilon )$ — изображение соответствующей дискретной функции $x[n,\epsilon ]=x_T((n+\epsilon )T)$, где T — период дискретизации, $n\in \mathbb{N}\cup \{0\}$.

Введем функцию $X(q)=\frac{1}{T}{X}_T\left(\frac{q}{T}\right)$. Тогда

$X^{*}(q,\epsilon )=\overline{𝒟}\{X(q)\}=\frac{1}{2\pi j}\underset{c-j\mathrm{\infty }}{\overset{c+j\mathrm{\infty }}{\int }}X(\eta )\frac{e^q}{e^q-e^{\eta }}{e}^{\epsilon \eta }d\eta ,\mathrm{R}\mathrm{e}q>c$

Можно показать, что

$X^{*}(q,\epsilon )=\sum _{k=1}^l\underset{\eta ={\eta }_k}{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}\frac{e^q{e}^{\epsilon \eta }}{e^q-e^{\eta }}X(\eta ),$

причем вычеты берутся по всем полюсам функции $X(q)$, и что

$X^{*}(q,\epsilon )=\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{\epsilon (q+2\pi jr)}X(q+2\pi jr)$

Формула для обратного D с чертой-преобразования:

$X(q)=\stackrel{-1}{\overline{𝒟}}\{X^{*}(q,\epsilon )\}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{-q\epsilon }{X}^{*}(q,\epsilon )d\epsilon$

Свойства

1. Линейность: $\overline{𝒟}\{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{X}_i(q)\}=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\overline{𝒟}\{X_i(q)\}$
2. Умножение на $e^{kq},k\in \mathbb{Z}$: $\overline{𝒟}\{e^{kq}X(q)\}=e^{kq}\overline{𝒟}\{X(q)\}$
3. Умножение на $e^{-\gamma q},0<\gamma <1$: $\overline{𝒟}\{e^{-\gamma q}X(q)\}=\{\begin{array}{cc}{e}^{-q}{X}^{*}(q,1+\epsilon -\gamma ),& 0⩽\epsilon <\gamma ,\\ X^{*}(q,\epsilon -\gamma ),& \gamma ⩽\epsilon <1\end{array}$
4. Смещение q на ±λ: $\overline{𝒟}\{X(q\pm \lambda )\}=e^{\mp \lambda \epsilon }{X}^{*}(q\pm \lambda ,\epsilon )$
5. Умножение на q: $\overline{𝒟}\{qX(q)\}=\frac{\partial }{\partial \epsilon }\overline{𝒟}\{X(q)\}$
6. Деление на q: $\overline{𝒟}\left\{\frac{X(q)}{q}\right\}=\underset{0}{\overset{\epsilon }{\int }}\overline{𝒟}\{X(q)\}d\epsilon +\frac{1}{e^q-1}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\overline{𝒟}\{X(q)\}d\epsilon$
7. Дифференцирование по q: $\overline{𝒟}\{\frac{d}{dq}X(q)\}=\frac{\partial }{\partial q}\overline{𝒟}\{X(q)\}-\epsilon \overline{𝒟}\{X(q)\}$

Таблица некоторых преобразований

$X_T(s)=ℒ\{x_T(t)\}$	$X(q)=\frac{1}{T}{X}_T\left(\frac{q}{T}\right)$	$X^{*}(q,\epsilon )=𝒟\{x[n,\epsilon ]\}=\overline{𝒟}\{X(q)\}$
$\frac{1}{s}$	$\frac{1}{q}$	$\frac{e^q}{e^q-1}$
$\frac{T}{Ts+\beta }$	$\frac{1}{q+\beta }$	$\frac{e^q{e}^{-\beta \epsilon }}{e^q-e^{-\beta }}$
$\frac{T}{T^2{s}^2+2\zeta Ts\beta +{\beta }^2}$	$\frac{1}{q^2+2\zeta q\beta +{\beta }^2}$	$\frac{e^q{e}^{-\zeta \beta \epsilon }(e^q\sin \beta \epsilon \sqrt{1-{\zeta }^2}+e^{-\zeta \beta }\sin \beta (1-\epsilon )\sqrt{1-{\zeta }^2})}{\beta \sqrt{1-{\zeta }^2}(e^{2q}-2e^q{e}^{-\zeta \beta }\cos \beta \sqrt{1-{\zeta }^2}+e^{-2\zeta \beta })}$