R-матрица

Шаблон:Нет источников Термин R-матрица используется в связи с уравнением Янга-Бакстера. Это уравнение, впервые введенное в области статистической механики, получило свое название от независимой работы С. Н. Янга и Р. Дж. Бакстера. Классическая R-матрица возникает в определении классического уравнения Янга–Бакстера.

Определение

Пусть $V$- векторное пространство над полем $k$. Линейный автоморфизм $c$пространства $V\otimes V$ называется R-матрицей, если он удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера: $(c\otimes {\text{id}}_V)({\text{id}}_V\otimes c)(c\otimes {\text{id}}_V)=({\text{id}}_V\otimes c)(c\otimes {\text{id}}_V)({\text{id}}_V\otimes c)$, которое рассматривается как соотношение в группе автоморфизмов пространства $V\otimes V\otimes V$.

Пример

1. Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем $k$ с базисом $\{e_1,...,e_N\}$, $p,q$ — обратимые скаляры, $\{r_{ij}{\}}_{1\le i,j\le N}$ — семейство элементов поля $k$, т.ч. $r_{ii}=q$ и $r_{ij}{r}_{ji}=p$ для $i\ne j$ , $c$ — автоморфизм, задающийся на базисе пространства $V\otimes V$ формулами: $c(e_i\otimes e_i)=q{e}_i\otimes e_i,$ $c(e_i\otimes e_j)=\{\begin{array}{cc}{r}_{ji}{e}_j\otimes e_i,& i<j\\ r_{ji}{e}_j\otimes e_i+(q-p{q}^{-1})e_i\otimes e_j,& i>j\end{array}$. Автоморфизм $c$ является решением уравнения Янга-Бакстера.