Барицентрические координаты

Шаблон:Не путать Шаблон:Значения Барицентри́ческие координа́ты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис).

Точечный базис (иногда используется термин «базис барицентрических координат») в $n$-мерном аффинном пространстве $A$  представляет собой систему из $(n+1)$-й точки $P_0,P_1,\dots ,P_n$,  которые предполагаются аффинно независимыми  (т. е. не лежат в $(n-1)$-мерном подпространстве рассматриваемого пространства).

Определение

Пусть $P$ есть произвольная точка в $A$.  Каждая точка  $M\in A$  может быть единственным образом представлена в виде барицентрической комбинации

$M=P+{\alpha }_0\cdot {\overrightarrow{PP}}_0+{\alpha }_1\cdot {\overrightarrow{PP}}_1+\dots +{\alpha }_n\cdot {\overrightarrow{PP}}_n;$

барицентричность стоящей в правой части линейной комбинации точек означает, что действительные числа ${\alpha }_0,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ (коэффициенты комбинации) удовлетворяют условию

${\alpha }_0+{\alpha }_1+\dots +{\alpha }_n=1.$

Барицентрические координаты (λ1,λ2,λ3) на равностороннем треугольнике и на прямоугольном треугольнике

Числа ${\alpha }_0,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$  и называются барицентрическими координатами точки $M$.  Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора $P$.

Записанное выше равенство в символике барицентрического исчисления может быть переписано так:

$M={\alpha }_0{P}_0+{\alpha }_1{P}_1+\dots +{\alpha }_n{P}_n.$

Свойства

• Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
• Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в $P_0,P_1,\dots ,P_n$ неотрицательны и их сумма равна единице.
• Обращение в нуль барицентрической координаты ${\alpha }_i$ равносильно тому, что точка лежит на плоскости, содержащей грань симплекса, противоположную вершине $P_i$. Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.
• В барицентрических координатах изотомическое сопряжение двух точек внутри треугольника задаётся формулой $(x:y:z)\mapsto (x^{-1}:y^{-1}:z^{-1})$. В связи с этим, барицентрические координаты часто бывают удобны при работе с изотомическим сопряжением.
• Для точки $X$, лежащей внутри треугольника $ABC$, в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников $(S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})$.
• Барицентрические координаты тесно связаны с трилинейными координатами. А именно, если $(\alpha :\beta :\gamma )$ — барицентрические координаты точки $X$ относительно треугольника $ABC$, а $a,b,c$ — длины его сторон, то

  $(x:y:z)=(\frac{\alpha }{a}:\frac{\beta }{b}:\frac{\gamma }{c})$

её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

• Точка $M$ является центром масс грузиков с массами ${\alpha }_0,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$, расположенных в точках $P_0,P_1,\dots ,P_n$.

История

Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 г.Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Трилинейные координаты
• Аффинные преобразования
• Аффинное пространство

Шаблон:Перевести Шаблон:Навигационная таблица