Гипотеза Сельберга о дзета-функции

Гипотеза Сельберга — математическая гипотеза о плотности нулей дзета-функции Римана ζ(1/2 + it), выдвинутая Атле Сельбергом.

Гипотеза Сельберга является усилением Шаблон:Нп4. Сельберг выдвинул свою гипотезу, доказав гипотезу Харди—Литтлвуда.

История и формулировка

В 1942 году Атле Сельберг выдвинул гипотезу, что при фиксированном $\epsilon$ с условием $0<\epsilon <0.001$, достаточно большом $T$ и $H=T^{a+\epsilon }$, $a=\frac{27}{82}=\frac{1}{3}-\frac{1}{246}$, промежуток $(T,T+H)$ содержит не менее $cH\ln T$ вещественных нулей дзета-функции Римана $\zeta (\frac{1}{2}+it)$. Сельберг доказал справедливость утверждения для случая $H\ge T^{1/2+\epsilon }$.

Доказательство гипотезы

В 1984 году А. А. Карацуба доказал гипотезу Сельберга.

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при $T\to +\mathrm{\infty }$.

В 1992 г. А. А. Карацуба доказал, что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков $(T,T+H]$, $H=T^{\epsilon }$, где $\epsilon$ — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках $(T,T+H]$, длина $H$ которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени $T$. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел $\epsilon$, ${\epsilon }_1$ с условием $0<\epsilon ,{\epsilon }_1<1$ почти все промежутки $(T,T+H]$ при $H\ge \exp \{(\ln T{)}^{\epsilon }\}$ содержат не менее $H(\ln T{)}^{1-{\epsilon }_1}$ нулей функции $\zeta (\frac{1}{2}+it)$. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.