Каирская пятиугольная мозаика

Каирская пятиугольная мозаика
Тип	Шаблон:Не переведено 5
Грани	неправильные пятиугольники
Диаграммы Коксетера — Дынкина	Шаблон:CDD Шаблон:CDD
Симметрия	p4g, [4+,4], (4*2) p4, [4,4]+, (442)
Симметрия вращения	p4, [4,4]+, (442)
Двойственная мозаика	плосконосая квадратная мозаика
Конфигурация грани	V3.3.4.3.4 |
Свойства	транзитивная по граням

Каирская пятиугольная мозаика является двойственной полуправильной мозаикой на плоскости. Мозаика получила такое название по египетскому городу Каир, улицы которого вымощены такими плиткамиШаблон:SfnШаблон:Sfn. Мозаика является одной из 15 известных равногранных (то есть имеющих грани только одного вида) пятиугольных мозаик.

Мозаика также называется сетью МакмагонаШаблон:Sfn по имени Шаблон:Не переведено 5, опубликовавшего в 1921 году статью «New Mathematical Pastimes» (Новые математические развлечения)Шаблон:Sfn.

Конвей называет мозаику 4-fold pentille (4-кратный пятипаркет)Шаблон:Sfn.

Как 2-мерная кристаллическая решётка мозаика имеет те же специальные свойства, что и шестиугольная решётка. Обе решётки являются стандартной реализацией (в терминах М. Котани и Шаблон:Не переведено 5) для кристаллических решёток общего видаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Геометрия

Геометрия пятиугольников

Грани мозаики не являются правильными пятиугольниками — их стороны не равны (они имеют четыре длинные и одну короткую стороны с отношением $1:\sqrt{3}-1$), а углы пятиугольника составляют (последовательно) $120^{\circ },120^{\circ },90^{\circ },120^{\circ },90^{\circ }$. Мозаика имеет конфигурацию грани V3.3.4.3.4.

Мозаика похожа на Шаблон:Не переведено 5 с конфигурацией грани V3.3.3.4.4, но в этой мозаике два прямых угла находятся рядом. Шаблон:Clear

Вариации

Каирская пятиугольная мозаика имеет два вида с пониженной симметрией, которые являются равногранными пятиугольными мозаиками типов 4 и 8:

p4 (442)	pgg (22×)
b=c, d=e B=D=90°	b=c=d=e 2B+C=D+2E=360°

Двойственная мозаика

Мозаика является двойственной для плосконосой квадратной мозаики, состоящей из двух квадратов и трёх равносторонних треугольников вокруг каждой вершины.

Связь с шестиугольными мозаиками

Эту мозаику можно рассматривать как объединение двух перпендикулярных шестиугольных мозаик, растянутых в $\sqrt{3}$ раз. Каждый Шестиугольник делится на четыре пятиугольника. Шестиугольники можно сделать вогнутыми, что приведёт к вогнутым пятиугольникам. Альтернативно, одну шестиугольную мозаику можно оставить правильной, а другую сжать и растянуть (в разных направлениях) в $\sqrt{3}$ раз, что приводит к образованию 2 видов пятиугольников.

Топологически эквивалентные мозаики

Как двойственная плосконосой квадратной мозаике данная мозаика имеет фиксированные пропорции. Однако её можно подстроить под другие геометрические формы с той же топологической связностью и другой симметрией. Например, эти мозаики топологически идентичны.

Шаблон:Не переведено 5		Наложение на каирскую мозаику

Усечённая каирская пятиугольная мозаика

Усечение 4-валентных вершин создаёт мозаику, связанную с Шаблон:Не переведено 5, и ей может быть дан символ {4+,4}_2,1. Пятиугольники усекаются до семиугольников. Двойственная мозаика к {4,4+}_2,1 имеет только треугольные грани и связана с Шаблон:Не переведено 5. Её можно рассматривать как плосконосую квадратную мозаику, в которой квадраты заменены четырьмя треугольниками.

Усечённая каирская пятиугольная мозаика

Кис-плосконосая квадратная мозаика

Связанные многогранники и мозаики

Каирская пятиугольная мозаика подобна Шаблон:Не переведено 5 с конфигурацией граней V3.3.3.4.4, двум 2-однородным двойственным мозаикам и двум 3-однородным двойственным, в которых смешаны два типа пятиугольников. Здесь они нарисованы с выделением цветом рёберШаблон:Sfn.

V3.3.3.4.4

V3.3.4.3.4

Связанные пятиугольные мозаики
Каирская пятиугольная мозаика		2-однородные двойственные
p4g (4*2)		p2, (2222)	pgg (22×)	cmm (2*22)
V3.3.4.3.4		(V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4)
Призматическая пятиугольная мозаика		3-однородные двойственные
cmm (2*22)		p2 (2222)	pgg (22×)	p2 (2222)	pgg (22×)
V3.3.3.4.4		(V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4)

Каирская пятиугольная мозаика находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.4.3.n. Шаблон:Таблица плосконосых мозаик-4

Она также находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.n.3.n. Шаблон:Таблица плосконосых мозаик-5

См. также

• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

Литература для дальнейшего чтения

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld