Катальди, Пьетро Антонио

Шаблон:Однофамильцы Шаблон:Учёный Пье́тро Анто́нио Ката́льди (Шаблон:Lang-it; Шаблон:ДатаРождения—1626)Шаблон:Sfn — итальянский Шаблон:Математик, автор более 30 трудов по математике. Впервые ввёл в математику понятие о непрерывных дробях (1613). Открыл шестое и седьмое совершенные числа (1588 год). Почётный гражданин города БолоньяШаблон:Sfn.

Биография

Пьетро Катальди родился и получил образование в Болонье, затем с 1569 по 1570 год преподавал во Флоренции. В 1572 году отправился в Перуджу, где на протяжении 12 лет преподавал математику. Он одним из первых преподавал математику как самостоятельную дисциплину, причём читал лекции, вопреки традиции, не на латыни, а на итальянском языке (большинство его работ также написаны на итальянском языке). Одновременно с преподаванием математики Катальди читал лекции в Академии художеств Перуджи. По отзывам современников, Катальди славился как первоклассный поэт, фехтовальщик и наездникШаблон:Sfn.

В 1584 году Катальди вернулся в родную Болонью, где получил докторскую степень по философии и медицине. В Болонье он в качестве профессора преподавал математику и астрономию почти сорок лет, до конца жизни, читал лекции по античным классикам (Евклид, Клавдий Птолемей)Шаблон:Sfn.

Тем временем Катальди получил важные новые результаты, касающиеся совершенных чисел. Но в 1594 году у него украли рукопись, и ему пришлось воссоздать работу с нуля (опубликована в Болонье в 1603 году. под названием «Трактат о совершенных числах»)Шаблон:Sfn.

Катальди умер в Болонье 11 февраля. 1626 года. Наследников он не оставил. Согласно завещанию, в его доме была открыта школа-интернат для бедных учеников, которой он оставил всё своё имуществоШаблон:Sfn.

Научная деятельность

В своём «Трактате о кратчайшем способе нахождения квадратного корня из чисел» (Шаблон:Lang-it, Болонья, 1613) Катальди первым в мире ввёл понятие непрерывных дробей (сам термин появился позже) и дал для них обозначение, напоминающее современноеШаблон:Sfn.

Катальди описал алгоритм извлечения квадратных корней из натуральных чисел с помощью непрерывных дробей, аналогичный ранее опубликованному (1572 год) Рафаэлем Бомбелли, который непрерывные дроби не использовал. Чтобы найти значение $\sqrt{n}$, сначала определяется его целое приближение: $\sqrt{n}=a\pm r$, где $0<r<1$. Тогда $n=(a\pm r{)}^2=a^2\pm 2ar+r^2$. Отсюда несложно вывести, что $r=\frac{|n-a^2|}{2a\pm r}$. Повторно подставляя полученное выражение в формулу $\sqrt{n}=a\pm r$, мы получаем разложение в непрерывную дробь:

$a\pm \frac{|n-a^2|}{2a\pm \frac{|n-a^2|}{2a\pm \frac{|n-a^2|}{2a\pm \cdots }}}$

Пример. Для $\sqrt{13},a=3$ мы получаем последовательные приближения (подходящие дроби):

$3\frac{2}{3},3\frac{3}{5},3\frac{20}{33},3\frac{66}{109},3\frac{109}{180},3\frac{720}{1189},\cdots$

Две последние дроби равна $3,60555555\dots$ и $3,60555088\dots$ соответственно. Катальди отметил основное свойство непрерывных дробей: исходное число всегда находится между соседними подходящими дробямиШаблон:Sfn, что позволяет легко оценить погрешность вычисленного значения корня. Поэтому, сравнивая последнюю дробь с предпоследней, можно заключить, что пять цифр после запятой верны. В самом деле, точное значение: $\sqrt{13}=3.60555127\dots$. Позднее теорию непрерывных дробей расширили Джон Валлис, Христиан Гюйгенс, Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

Катальди также внёс большой вклад в теорию совершенных чисел. Уже Евклид знал, что если $2^n-1$ — простое число, то $2^{n-1}(2^n-1)$ — совершенное число. Это правило при $n=2,3,5,7$ даёт совершенные числа $6,28,496,8128$ соответственно. Другие совершенные числа древнегреческим математикам были неизвестны. Следующее совершенное число опубликовал голландский математик Худалрик Perиус (Шаблон:Lang-la) в трактате «Utriusque Arithmetices» (1536 год), который показал, что $2^{13}-1$ является простым числом, что даёт в качестве следующего совершенного числа Шаблон:NumШаблон:Sfn.

В 1603 году Катальди опубликовал «Трактат о совершенных числах» (Шаблон:Lang-it), где показалШаблон:Sfn:

• если $n$ составное, то и $2^n-1$ также составное;
• $2^n-1$ при $n=17$ и при $n=19$ — простые числа (доказывал простым перебором возможных простых делителей).

Фактически Катальди вычислил список всех простых чисел до 750 и разложения всех чисел до 800. Он опубликовал эти списки отдельно. Тем самым Катальди нашёл шестое и седьмое совершенные числа: Шаблон:Num и Шаблон:NumШаблон:Sfn. Заодно он опроверг гипотезу Никомаха, согласно которой в последних цифрах членов последовательности совершенных чисел чередуются цифры 6 и 8.

Он также предположил, что для $n=23,29,31,37$ также получатся совершенные числа, но эта гипотеза не оправдалась — все эти числа, за исключением получающегося при $n=31,$ оказались составными. Первым это обнаружил Пьер Ферма в 1640 году, случай $n=31$ исследовал Леонард Эйлер в 1738 годуШаблон:Sfn.

Кроме трактата о совершенных числах, в том же 1603 году Катальди опубликовал комментированное издание «Начал» Евклида и ещё один небольшой труд, в котором попытался доказать «Пятый постулат» Евклида. При этом он опирался на утверждение: «Эквидистанта для прямой является прямой», которое на самом деле равносильно пятому постулатуШаблон:Sfn.

Основные труды

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Cataldi Pietro Antonio, Algebra applicata, 1622
• Cataldi Pietro Antonio, Difesa di Euclide, 1626

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:Публикация
• Шаблон:H
• Шаблон:Cite web