Конические координаты

Координатные поверхности конических координат. Постоянные Шаблон:Math и Шаблон:Math равны 1 и 2 соответственно. Красная сфера соответствует Шаблон:Math, синий эллиптический конус вокруг оси Шаблон:Math соответствует μ=cosh(1), жёлтый эллиптический конус вокруг оси Шаблон:Mvar соответствует Шаблон:Math. Три поверхности пересекаются в точке Шаблон:Math (показана чёрным цветом) с декартовыми координатами примерно (1.26, -0.78, 1.34).

Конические координаты — трёхмерная ортогональная система координат, состоящая из концентрических сфер (радиус Шаблон:Mvar) и двумя семействами перпендикулярных конусов, направленных вдоль осей Шаблон:Math и Шаблон:Math.

Основные определения

Конические координаты $(r,\mu ,\nu )$ определяются выражениями

$x=\frac{r\mu \nu }{bc},$

$y=\frac{r}{b}\sqrt{\frac{({\mu }^2-b^2)({\nu }^2-b^2)}{(b^2-c^2)}},$

$z=\frac{r}{c}\sqrt{\frac{({\mu }^2-c^2)({\nu }^2-c^2)}{(c^2-b^2)}},$

при этом на координаты накладываются ограничения

${\nu }^2<c^2<{\mu }^2<b^2.$

Поверхности постоянного Шаблон:Mvar представляют собой сферы радиуса Шаблон:Mvar с центром в начале координат:

$x^2+y^2+z^2=r^2,$

поверхности постоянных $\mu$ и $\nu$ являются взаимно перпендикулярными конусами:

$\frac{x^2}{{\mu }^2}+\frac{y^2}{{\mu }^2+b^2}+\frac{z^2}{{\mu }^2-c^2}=0$

и

$\frac{x^2}{{\nu }^2}+\frac{y^2}{{\nu }^2-b^2}+\frac{z^2}{{\nu }^2+c^2}=0.$

Масштабные множители

Масштабным множителем для радиуса Шаблон:Mvar является единица (Шаблон:Math), как в сферических координатах. Для конических координат масштабные множители имеют вид

$h_{\mu }=r\sqrt{\frac{{\mu }^2-{\nu }^2}{(b^2-{\mu }^2)({\mu }^2-c^2)}}$

и

$h_{\nu }=r\sqrt{\frac{{\mu }^2-{\nu }^2}{(b^2-{\nu }^2)(c^2-{\nu }^2)}}.$

Другой вариант определения

Существует другой набор конических координат:

$\begin{array}{cc}\xi & =r\cos \varphi \sin \theta ,\\ \psi & =r\sin \varphi \sin \theta ,\\ \zeta & =\theta ,\end{array}$

где $\{r,\theta ,\varphi \}$ — сферические полярные координаты. Обратное преобразование:

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{{\xi }^2+{\psi }^2},\\ \varphi & =\frac{1}{\sin \zeta }\mathrm{arctg}(\frac{\psi }{\xi }),\\ \theta & =\zeta .\end{array}$

Малое евклидово расстояние между двумя точками в данных координатах:

$\begin{array}{cc}d{s}^2& =d{\xi }^2+d{\psi }^2+({\xi }^2+{\psi }^2)(1+\mathrm{arctg}(\frac{\psi }{\xi }{)}^2\mathrm{ctg}{\zeta }^2)d{\zeta }^2+\\ & +2\psi \mathrm{arctg}(\frac{\psi }{\xi })\mathrm{ctg}\zeta d\xi d\zeta -2\xi \mathrm{arctg}(\frac{\psi }{\xi })\mathrm{ctg}\zeta d\psi d\zeta .\end{array}$

Если путь между двумя точками ограничен поверхностью конуса, задаваемого $\zeta =\frac{\pi }{4}$, то геодезическое расстояние между двумя точками $\{{\xi }_1,{\psi }_1,{\zeta }_1=\frac{\pi }{4}\}$ и $\{{\xi }_2,{\psi }_2,{\zeta }_2=\frac{\pi }{4}\}$ выражается как $s_{12}^2=({\xi }_1-{\xi }_2{)}^2+({\psi }_1-{\psi }_2{)}^2.$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Описание конических координат в MathWorld