Метод Адамса

Ме́тод А́дамса — конечноразностный многошаговый метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В отличие от метода Рунге-Кутты использует для вычисления очередного значения искомого решения не одно, а несколько значений, которые уже вычислены в предыдущих точках.

Назван по имени предложившего его в 1855 году английского астронома Джона К. Адамса.

Определение

Пусть дана система дифференциальных уравнений первого порядка

$y^{\prime }=f(x,y)$

$y(x_0)=y_0$,

для которой надо найти решение на сетке с постоянным шагом $x_n-x_0=nh$. Расчётные формулы метода Адамса для решения этой системы имеют вид:

a) экстраполяционные — метод Адамса-Башфорта

$y_{n+1}=y_n+h\sum _{\lambda =0}^k{u}_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })$,

б) интерполяционные или неявные — метод Адамса-Мультона

$y_{n+1}=y_n+h\sum _{\lambda =-1}^{k-1}{v}_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })$,

где $u_{-\lambda },v_{-\lambda }$ — некоторые вычисляемые постоянные.

При одном и том же $k$ формула б) точнее, но требует решения нелинейной системы уравнений для нахождения значения $y_{n+1}$. На практике находят приближение из а), а затем приводят одно или несколько уточнений по формуле

$y_{n+1}^{(i+1)}=y_n+h\sum _{\lambda =0}^{k-1}{v}_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda })+h{v}_{1}f(x_{n+1},y_{n+1}^{(i)})$.

Свойства

Методы Адамса $k$-го порядка требуют предварительного вычисления решения в $k$ начальных точках. Для вычисления начальных значений обычно используют одношаговые методы, например, 4-стадийный метод Рунге — Кутты 4-го порядка точности.

Локальная погрешность методов Адамса $k$-го порядка — $O(h^k)$. Структура погрешности метода Адамса такова, что погрешность остаётся ограниченной или растёт очень медленно в случае асимптотически устойчивых решений уравнения. Это позволяет использовать этот метод для отыскания устойчивых периодических решений, в частности, для расчёта движения небесных тел.

Методы Адамса — Мультона

Неявные методы Адамса — Мультона

$y_n=y_{n-1}+hf(t_n,y_n)$, (неявный метод Эйлера)

$\begin{array}{cc}{y}_{n+1}& =y_n+\frac{1}{2}h(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_n,y_n)),\\ y_{n+2}& =y_{n+1}+h(\frac{5}{12}f(t_{n+2},y_{n+2})+\frac{2}{3}f(t_{n+1},y_{n+1})-\frac{1}{12}f(t_n,y_n)),\\ y_{n+3}& =y_{n+2}+h(\frac{3}{8}f(t_{n+3},y_{n+3})+\frac{19}{24}f(t_{n+2},y_{n+2})-\frac{5}{24}f(t_{n+1},y_{n+1})+\frac{1}{24}f(t_n,y_n)),\\ y_{n+4}& =y_{n+3}+h(\frac{251}{720}f(t_{n+4},y_{n+4})+\frac{646}{720}f(t_{n+3},y_{n+3})-\frac{264}{720}f(t_{n+2},y_{n+2})+\frac{106}{720}f(t_{n+1},y_{n+1})-\frac{19}{720}f(t_n,y_n)).\end{array}$

Библиография

• Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 2, М., 1959.
• Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд. М. 1975.