Неопределённый интеграл

Неопределённый интегра́л для функции $f(x)$ — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция $f(x)$ определена и непрерывна на промежутке $(a,b)$ и $F(x)$ — её первообразная, то есть $F^{\prime }(x)=f(x)$ при $a<x<b$, то

$\int f(x)dx=F(x)+C,$ $a<x<b$,

где С — произвольная постоянная.

Основные свойства неопределённого интеграла приведены ниже.

$d(\int f(x)dx)=f(x)dx$

$\int d(F(x))=F(x)+C$

$\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx,a\ne 0$

$\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

Если $\int f(x)dx=F(x)+C$, то и $\int f(u)du=F(u)+C$, где $u=\phi (x)$ — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Подведение под знак дифференциала

При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:

$du=d(u+C)$

$du=\frac{1}{a}d(au)$

$f^{\prime }(u)\cdot du=d(f(u))$

Основные методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

$\int g(x)dx=G(x)+C,$

то

$\int g(u)du=G(u)+C,$

где $u=\phi (x)$ — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

$g(x)=g_1(x)+g_2(x),$

то

$\int g(x)dx=\int g_1(x)dx+\int g_2(x)dx.$

3. Метод подстановки. Если $g(x)$ — непрерывна, то, полагая

$x=\phi (t),$

где $\phi (t)$ непрерывна вместе со своей производной ${\phi }^{\prime }(t)$, получим

$\int g(x)dx=\int g(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt.$

4. Метод интегрирования по частям. Если $u$ и $v$ — некоторые дифференцируемые функции от $x$, то

$\int udv=uv-\int vdu.$

Таблица основных неопределённых интегралов

$\int 0\cdot dx=C;$

$\int 1\cdot dx=x+C;$

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $(n\ne -1);$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \mid x\mid +C;$

$\int e^{x}dx=e^x+C;$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,$ $(a>0,a\ne 1);$

$\int \cos xdx=\sin x+C;$

$\int \sin xdx=-\cos x+C;$

$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{t}\mathrm{g}x+C;$

$\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+C;$

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2(C_2=\frac{\pi }{2}+C_1);$

$\int \frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+C;$

$\int \mathrm{c}\mathrm{h}xdx=\mathrm{s}\mathrm{h}x+C;$

$\int \mathrm{s}\mathrm{h}xdx=\mathrm{c}\mathrm{h}x+C;$

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа $C$ такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нём непрерывную первообразную.

См. также

• Первообразная
• Определённый интеграл
• Основная теорема анализа
• Знак интеграла
• Интегральное исчисление
• Численное интегрирование
• Методы интегрирования
• Список интегралов элементарных функций
• Таблица интегралов

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Онлайн Калькулятор Интегралов Шаблон:Wayback
• Онлайн калькулятор интегралов с подробным пошаговым решением на русском языке Шаблон:Wayback
• Шаблон:Из БСЭ