Неустойчивость Остроградского

Неустойчивость Остроградского — явление, характерное для теорий с уравнениями Эйлера-Лагранжа, имеющими порядок выше второго. В этом случае, если лагранжиан невырожден, соответствующий ему гамильтониан неограничен снизу, что приводит к появлению в теорий неустойчивостей.

Теорема Остроградского может служить одним из возможных объяснений, почему, как правило, дифференциальные уравнения физических теорий имеют порядок не выше второго. Тем не менее, известно достаточно много примеров теорий с высшими производными (вырожденных), не имеющих данной неустойчивости.

Пример

Продемонстрируем теорему Остроградского в контексте механики следующим простым примером. Рассмотрим теорию с лагранжианом

$L=\frac{a}{2}{\ddot{\varphi }}^2-V(\varphi ),$

где $a\ne 0$ — константа, а $V(\varphi )$ — произвольный потенциал. Уравнения движения имеют тогда четвертый порядок, $a\stackrel{....}{\varphi }-dV/d\varphi =0$, соответственно, в теории имеется две динамические степени свободы, одна из которых является патологической (и называется в контексте теории поля духом Остроградского). Действительно, заметим, что

$L=-a\dot{\psi }\dot{\varphi }-\frac{a}{2}{\psi }^2-V(\varphi )+a\frac{\partial (\psi \dot{\varphi })}{\partial t}$

даёт нам те же самые уравнения Эйлера-Лагранжа, что и исходный лагранжиан, с учётом $\psi =\ddot{\varphi }$. Но тогда в новых переменных $q=(\varphi +\psi )/\sqrt{2}$ и $Q=(\varphi -\psi )/\sqrt{2}$ мы получаем

$L=-\frac{a}{2}{\dot{q}}^2+\frac{a}{2}{\dot{Q}}^2-U(q,Q),$

где неправильный знак у кинетического члена и сигнализирует о присутствии духовой неустойчивости.

В общем случае данное рассуждение применимо для всех теорий с лагранжианами высших порядков, кроме случаев, когда такой лагранжиан вырожден (т.е. определитель кинетической матрицы равен нулю).