Определённый интеграл

Шаблон:Переработать Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)Шаблон:Переход. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функцииШаблон:Переход. В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Что такое определённый интеграл, анимация

Определение

Пусть функция $f(x)$ определена на отрезке $[a;b]$. Разобьём $[a;b]$ на части несколькими произвольными точками: $a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_n=b$. Тогда говорят, что произведено разбиение $R$ отрезка $[a;b].$ Далее, для каждого $i$ от $0$ до $n-1$ выберем произвольную точку ${\xi }_i\in [x_i;x_{i+1}]$.

Определённым интегралом от функции $f(x)$ на отрезке $[a;b]$ называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю ${\lambda }_R\to 0$, если он существует независимо от разбиения $R$ и выбора точек ${\xi }_i$, то есть

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$

Если существует указанный предел, то функция $f(x)$ называется интегрируемой на $[a;b]$ по Риману.

Обозначения

• $a$ — нижний предел.
• $b$ — верхний предел.
• $f(x)$ — подынтегральная функция.
• $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_{i+1}-x_i$ — длина частичного отрезка.
• ${\lambda }_R=sup\mathrm{\Delta }{x}_i$ — ранг разбиения, максимальная из длин частичных отрезков.

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл от неотрицательной функции $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми $x=a$ и $x=b$ и графиком функции $f(x)$.

Свойства

• Если $f$ и $g$ — интегрируемы на отрезке $[a,b]$ функции, то их линейная комбинация $\alpha f+\beta g$ также является интегрируемой на $[a,b]$ функцией, причём $\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\alpha f+\beta g)(x)dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx.$
• Если $f$ — интегрируемая на отрезке $[a,b]$ функция, то справедливо $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx.$
• Если $f$ — интегрируемая в окрестности точки $a$ функция, то справедливо $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx=0$.
• Если функция $f(x)$ интегрируема по Риману на $[a;b]$, то она ограничена на нем.

Примеры вычислений

Далее приведены примеры расчёта определённых интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

1. $\underset{8}{\overset{9}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_8^9=\frac{729}{3}-\frac{512}{3}=\frac{217}{3}=\mathrm{72,}(3)\approx \mathrm{72,3}$
2. $\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{dx}{x}=\ln x{|}_1^b=\ln b$
3. $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{2dx}{x}=2\ln x{|}_1^4\approx \mathrm{2,8}$