Псевдогруппа преобразований

Псевдогруппа преобразований гладкого многообразия $M$ — семейство диффеоморфизмов открытых подмножеств многообразия $M$ в $M$, замкнутое относительно композиции отображений, перехода к обратному отображению, а также сужения и склейки отображений.

Точное определение

Псевдогруппа преобразований $\mathrm{\Gamma }$ многообразия $M$ состоит из локальных преобразований, то есть пар вида $p=(D_p,\overline{p})$, где $D_p$ — открытое подмножество в $M$, а $\overline{p}$ — диффеоморфизм $D_p\to M$, причём предполагается, что

1. $p,q\in \mathrm{\Gamma }\Rightarrow p\circ q=({\overline{q}}^{-1}(D_p\cap \overline{q}(D_q)),\overline{p}\circ \overline{q})\in \mathrm{\Gamma }$
2. $p\in \mathrm{\Gamma }\Rightarrow p^{-1}=(\overline{p}(D_p),{\overline{p}}^{-1})\in \mathrm{\Gamma }$
3. $(M,id)\in \mathrm{\Gamma }$,
4. если $p$ — диффеоморфизм открытого подмножества $D$ в $M$ и $D={\cup }_{\alpha }{D}_{\alpha }$, где $D_{\alpha }$ — открытые подмножества в $M$, то $(D,p)\in \mathrm{\Gamma }⟺(D_{\alpha },p)\in \mathrm{\Gamma }$ для любого $\alpha$.

Примеры

• Произвольное гладкое действие группы на многообразии.
• Пусть $M$ гладкое многообразие и на котором гладко действует группа $G$ тогда «сужение» действия на произвольное открытое множество $\mathrm{\Omega }$ является псевдогруппой преобразований. Точнее $p=(D_p,\overline{p})$ содержится в псевдогруппе если $\overline{p}\in G$ и $D_p,\overline{p}(D_p)\subset \mathrm{\Omega }$.

Связанные определения

Так же, как группа преобразований, псевдогруппа преобразований определяет на $M$ отношение эквивалентности; классы эквивалентности называются её орбитами.

Типы псевдогрупп

Псевдогруппа преобразований $\mathrm{\Gamma }$ многообразия $M$ называется

• транзитивной, если $M$ — её единственная орбита,
• примитивной, если в $M$ нет нетривиальных гладких $\mathrm{\Gamma }$-инвариантных слоений (в противном случае псевдогруппа преобразований называется импримитивной).

Вариации и обобщения

Видоизменяя должным образом это определение, можно определить псевдогруппу преобразований произвольного топологического пространства или даже произвольного множества.

Литература

• Виноградов И.М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730-732.