Разностное уравнение

Ра́зностное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в любой точке с её значением в одной или нескольких точках, отстоящих от данной на определённый интервал. Применяется для описания дискретных систем.

Наиболее известный пример — рекуррентное уравнение гамма-функции $\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\cdot \mathrm{\Gamma }(z)$; при этом гамма-функция — не единственное решение этого разностного уравнения, например, функция $\sin (2\pi z)\cdot \mathrm{\Gamma }(z)$ также удовлетворяет этому уравнению.

Линейное разностное уравнение может быть записано в форме:

$s(n)=c_{1}s(n-1)+c_{2}s(n-2)+\dots +c_{d}s(n-d)$,

где $d$ коэффициентов $c_1,c_2,\dots ,c_d$ являются константами. Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения.

Разностное уравнение можно представить как дифференциальное уравнение бесконечного порядка, в силу тождества:

$F(z+a)=\exp \left(a\frac{d}{dz}\right)F(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^n{F}^{(n)}}{n!}=F(z)+a{F}^{\prime }(z)+\frac{a^2{F}^{″}(z)}{2}\dots$

Литература

• Шаблон:Книга