Релятивистская механика

Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.

Общие принципы

Область применения релятивистской механики

В классической механике пространственные координаты и время являются независимыми (при отсутствии гомоных связей, зависящих от времени), время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта, и действуют преобразования Галилея. В релятивистской же механике события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.

Основные законы релятивистской механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса — являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.

Второй закон Ньютона в релятивистской механике

Сила определяется как

$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}.$

Также известно выражение для релятивистского импульса:

$\overrightarrow{p}=\frac{m\overrightarrow{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$

Взяв для определения силы производную по времени от последнего выражения, получим:

$\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=m\gamma \overrightarrow{a}+m{\gamma }^3\overrightarrow{\beta }(\overrightarrow{\beta }\overrightarrow{a}),$

где введены обозначения: $\overrightarrow{\beta }\equiv \frac{\overrightarrow{v}}{c}$ и $\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

В результате выражение для силы приобретает вид:

$\overrightarrow{F}=m\gamma \overrightarrow{a}+m{\gamma }^3\overrightarrow{\beta }(\overrightarrow{\beta }\overrightarrow{a}).$

Отсюда видно, что в релятивистской механике в отличие от нерелятивистского случая ускорение не обязательно направлено по силе, в общем случае ускорение имеет также и составляющую, направленную по скорости.

Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия

$S=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha ds,$

где $\alpha$-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО)

$ds=c\sqrt{1-v^2/c^2}dt.$

Подставляя в интеграл движения, находим

$S=-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\alpha c\sqrt{1-v^2/c^2}dt.$

Но, с другой стороны, интеграл движения можно выразить через функцию Лагранжа

$S=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒdt.$

Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть

$ℒ=-\alpha c\sqrt{1-v^2/c^2}.$

Далее, разложим последнее выражение по степеням $\frac{v}{c}$, получим

$ℒ\simeq \alpha c+\frac{\alpha v^2}{2c}.$

Первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: $\frac{m{v}^2}{2}$, нетрудно определить константу $\alpha$

$\alpha =mc.$

Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы

$ℒ=-m{c}^2\sqrt{1-v^2/c^2}.$

Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.

Релятивистская частица как неголономная система

Поскольку квадрат 4-вектора импульса $P_{\alpha }$ является постоянной величиной:

$P_{\alpha }{P}^{\alpha }-m^2{c}^2=0,$

то релятивистская частица может рассматриваться как механическая система с неголономной связью в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве.

См. также

• Теория относительности
• Специальная теория относительности
• Общая теория относительности
• Релятивистски равноускоренное движение
• Релятивистская электродинамика

Литература

• Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
• Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
• Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля
• Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)