Свободное произведение

Граф Кэли свободного произведения ${\mathbb{Z}}_2\ast {\mathbb{Z}}_3$.

Свободным произведением групп называется группа, порождённая элементами этих двух групп, без каких-либо дополнительных соотношений.

Свободное произведение $G_1$ и $G_2$ обычно обозначается $G_1\ast G_2$.

Определения

• Если группы заданы через порождающие и соотношения $G_1=⟨S_1|R_1⟩$, $G_2=⟨S_2|R_2⟩$ то

  $G_1\ast G_2=⟨S_1\cup S_2|R_1\cup R_2⟩$

  • Это определение также допускает естественное обобщение на случай свободного произведения любого числа групп.

• Свободное произведение $G_1\ast G_2$ можно также определить как расслоенное копроизведение $G_1{⨿}_{\{e\}}{G}_2$ для тривиальной группы $\{e\}$ в категории групп.

Примеры

• Свободное произведение ${\mathbb{Z}}_2\ast {\mathbb{Z}}_2$ изоморфно бесконечной группе диэдра $D_{\mathrm{\infty }}$.
• Свободное произведение ${\mathbb{Z}}_2\ast {\mathbb{Z}}_3$ изоморфно проективной группе $PSL(2,\mathbb{Z})$.
• Свободное произведение $n$ копий $\mathbb{Z}$ — свободная группа с $n$ образующими.
• Теорема Зейферта — ван Кампена в частности утверждает, что если $X$ — топологическое пространство, и $V,U\subset X$ — два связных открытых множества таких, что пересечение $W=V\cap U$ односвязно, и $X=V\cup U$, то фундаментальная группа $X$ есть свободное произведение фундаментальных групп $V$ и $U$; то есть

  ${\pi }_{1}X={\pi }_{1}V\ast {\pi }_{1}U.$

Литература

• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.