Сплайн Эрмита

Кубический эрмитов сплайн — сплайн, построенный из кубических полиномов с использованием эрмитовой интерполяции, в соответствии с которой интерполируемая функция задается не только своими значениями в n точках, но и её первыми производными. Для заданной интерполяционной сетки $x_k$ для $k=1,\mathrm{...},n$, и заданного значения независимой переменной x вычисление функции проводится в соответствующем интервале $(x_k,x_{k+1})$ с известными граничными значениями функции p и её производной m. Для упрощения вычислений делается замена независимой переменной x на независимую переменную t по формуле $t=(x-x_k)/(x_{k+1}-x_k)$. В результате такой замены левая граница интервала становится равной 0, а правая 1. Кубический полином, служащий для вычисления интерполируемой функции в соответствующем интервале имеет вид:

$𝒑(t)=(2t^3-3t^2+1){𝒑}_k+(t^3-2t^2+t)(x_{k+1}-x_k){𝒎}_k+(-2t^3+3t^2){𝒑}_{k+1}+(t^3-t^2)(x_{k+1}-x_k){𝒎}_{k+1}$

В вышеприведенной формуле значения производных относятся к независимой переменной t. Для их вычисления необходимо исходные значения производных умножить на длины интервалов $x_{k+1}-x_k$. Как следует из формулы, значение интерполируемой функции вычислятся с помощью четырёх кубических полиномов $h_{00}(t),h_{10}(t),h_{01}(t),h_{11}(t)$. Эти полиномы отнюдь не являются классическими полиномами Эрмита, как об этом сказано в англоязычной версии статьи. На практике обычно известны лишь значения функции в узловых точках, но не значения первой производной. Для вычисления значений первой производной используются различные способы. Простейшим является вычисление среднего арифметического значения разделенных первых разностей на двух соседних интервалах.

${𝒎}_k=\frac{{𝒑}_{k+1}-{𝒑}_k}{2(x_{k+1}-x_k)}+\frac{{𝒑}_k-{𝒑}_{k-1}}{2(x_k-x_{k-1})}$

В так называемом кардинальном сплайне используется формула

${𝒎}_k=(1-c)\frac{{𝒑}_{k+1}-{𝒑}_{k-1}}{x_{k+1}-x_{k-1}}$

В этой формуле параметр c изменяется от 0 до 1. В соответствии с этой формулой производная в середине отрезка равняется разделённой первой разности на всём отрезке, умноженной на некий коэффициент. В случае с = 0 формула называется сплайном Катмалла-Рома (базовым сплайном).

См. также

• Бикубическая интерполяция
• Шарль Эрмит