Стационарная теория возмущений в квантовой механике

Шаблон:Falseredirect Стационарная теория возмущений в квантовой механике — теория возмущений, где гамильтониан не зависит от времени. Теория построена Шрёдингером в 1926 году.

Теория применима для достаточно слабых возмущений: $H=H_0+\lambda H_1$, при этом параметр $\lambda$ должен быть настолько маленьким, чтобы возмущение не слишком искажало невозмущённый спектр $H^0$.

Невырожденный спектр

В теории возмущений решение представляется в виде разложений

$|n⟩=|n^0⟩+\lambda |n^1⟩+{\lambda }^2|n^2⟩+\cdots ,$

$E_n=E_n^0+\lambda E_n^1+{\lambda }^2{E}_n^2+\cdots .$

Конечно, должно быть верно уравнение Шрёдингера:

$H|n⟩=E_n|n⟩.$

Подставляя разложение в это уравнение, получим

$(H_0+\lambda H_1)(|n^0⟩+\lambda |n^1⟩+{\lambda }^2|n^2⟩+\cdots )=$

$(E_n^0+\lambda E_n^1+{\lambda }^2{E}_n^2+\cdots )(|n^0⟩+\lambda |n^1⟩+{\lambda }^2|n^2⟩+\cdots ).$

Раскроем скобки и получим слева и справа следующие ряды:

${\lambda }^0{H}_0|n^0⟩+{\lambda }^1{H}_1|n^0⟩+{\lambda }^1{H}_0|n^1⟩+{\lambda }^2{H}_1|n^1⟩+\cdots +{\lambda }^{i+j}{H}_i|n^j⟩=$

${\lambda }^0{E}_n^0|n^0⟩+{\lambda }^1{E}_n^1|n^0⟩+\cdots +{\lambda }^{i+j}{E}_n^i|n^j⟩,$

то есть

$\sum _{\begin{array}{c}i=0\\ j\end{array}}^{i=1}{\lambda }^{i+j}{H}_i|n^j⟩=\sum _{i,j}{\lambda }^{i+j}{E}_n^i|n^j⟩.$

Собирая слагаемые одинакового порядка по $\lambda$, получим последовательности уравнений:

$H_0|n^0⟩=E_n^0|n^0⟩,$

$H_0|n^1⟩+H_1|n^0⟩=E_n^0|n^1⟩+E_n^1|n^0⟩,$

$H_0|n^2⟩+H_1|n^1⟩=E_n^0|n^2⟩+E_n^1|n^1⟩+E_n^2|n^0⟩.$

и т. д. Эти уравнения должны решаться последовательно для получения $E_n^k$ и $n^k$. Слагаемое с индексом $k=0$ — это решение для невозмущённого уравнения Шрёдингера, поэтому говорят также о «приближении нулевого порядка». Аналогично говорят о «приближении $k$-го порядка», если рассчитывают решение до слагаемых $E_n^k$ и $n^k$.

Из второго уравнения получаем, что можно определять однозначно решения для $n^1$ только с дополнительными условиями, так как каждая линейная комбинация $n^1$ и $n^0$ является решением. Возникает вопрос о нормализации. Мы можем предположить, что $⟨n^0|n^0⟩=1$, но в то же время из нормировки точного решения следует $⟨n|n⟩=1$. Тогда в первом порядке (по параметру λ) для условия нормировки нужно положить $⟨n^0|n^1⟩+⟨n^1|n^0⟩=0$. Поскольку выбор фазы в квантовой механике произволен, можно без потери общности сказать, что число $⟨n^0|n⟩$ действительно. Поэтому $⟨n^0|n^1⟩=-⟨n^0|n^1⟩$, и, как следствие, налагаемое дополнительное условие примет вид:

$⟨n^0|n^1⟩=0.$

Так как невозмущённое состояние $n^0$ должно быть нормируемо, сразу следует

$\lambda ⟨n^0|n^1⟩+{\lambda }^2⟨n^0|n^2⟩+{\lambda }^3⟨n^0|n^3⟩+\cdots =0$

и из этого

$⟨n^0|n^k⟩={\delta }_{0k}.$

Получаем поправку в первом порядке

$E_n^1=⟨n^0|H_1|n^0⟩,$

$|n^1⟩=\sum _{m\ne n}\frac{⟨m^0|H_1|n^0⟩}{E_n^0-E_m^0}|m^0⟩,$

и для поправки энергии во втором порядке

$E_n^2=\sum _{m\ne n}\frac{|⟨m^0|H_1|n^0⟩{|}^2}{E_n^0-E_m^0}.$