Сферичность

Сфери́чность — количественная мера того, насколько сферическим (круглым) является объект.

Определённая Х. Уоделлом (H. Wadell) в 1935 году^[1] сферичность $Ψ$ частицы представляет собой отношение площади поверхности сферы (того же объёма, что и данная частица) к площади поверхности частицы:

Ψ = \frac{π^{\frac{1}{3}} (6 V_{p})^{\frac{2}{3}}}{A_{p}},

где $V_{p}$ равно объёму частицы и $A_{p}$ равно площади поверхности частицы. Сферичность сферы равна единице по определению, а вследствие изопериметрического неравенства сферичность любого другого тела меньше единицы.

Вывод формулы

Хакон Уоделл определил сферичность как отношение площади поверхности сферы равного с данной частицей объёма к площади поверхности данной частицы. Рассмотрим сначала сферическую частицу, у которой площадь поверхности $A_{s}$ , а её объём $V_{p}$ равен объёму исследуемой частицы.

Выразим площадь поверхности этой частицы $A_{s}$ через её объём $V_{p}$ :

A_{s}^{3} = {(4 π r^{2})}^{3} = 4^{3} π^{3} r^{6} = 4 π (4^{2} π^{2} r^{6}) = 4 π \cdot 3^{2} (\frac{4^{2} π^{2}}{3^{2}} r^{6}) = 36 π {(\frac{4 π}{3} r^{3})}^{2} = 36 π V_{p}^{2} .

Следовательно,

A_{s} = {(36 π V_{p}^{2})}^{\frac{1}{3}} = 3 6^{\frac{1}{3}} π^{\frac{1}{3}} V_{p}^{\frac{2}{3}} = 6^{\frac{2}{3}} π^{\frac{1}{3}} V_{p}^{\frac{2}{3}} = π^{\frac{1}{3}} {(6 V_{p})}^{\frac{2}{3}} .

Тогда выражение сферичности $Ψ$ для произвольной частицы, имеющей площадь поверхности $A_{p}$ и объём $V_{p}$ , приобретает вид

Ψ = \frac{A_{s}}{A_{p}} = \frac{π^{\frac{1}{3}} {(6 V_{p})}^{\frac{2}{3}}}{A_{p}} .

Примеры

Эллипсоидальные объекты

Сферичность $Ψ$ сплюснутого сфероида равна

Ψ = \frac{π^{\frac{1}{3}} (6 V_{p})^{\frac{2}{3}}}{A_{p}} = \frac{2 \sqrt[3]{a b^{2}}}{a + \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}} \ln (\frac{a + \sqrt{a^{2} - b^{2}}}{b})},

где a и b равны большой и малой полуосям сфероида.

Сферичность некоторых объектов

Название	Объём	Площадь поверхности	Сферичность
Платоновы тела
Тетраэдр	$\frac{\sqrt{2}}{12} s^{3}$	$\sqrt{3} s^{2}$	${(\frac{π}{6 \sqrt{3}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.671$
Куб (гексаэдр)	$s^{3}$	$6 s^{2}$	${(\frac{π}{6})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.806$
Октаэдр	$\frac{1}{3} \sqrt{2} s^{3}$	$2 \sqrt{3} s^{2}$	${(\frac{π}{3 \sqrt{3}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.846$
Додекаэдр	$\frac{1}{4} (15 + 7 \sqrt{5}) s^{3}$	$3 \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}} s^{2}$	${(\frac{{(15 + 7 \sqrt{5})}^{2} π}{12 {(25 + 10 \sqrt{5})}^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.910$
Икосаэдр	$\frac{5}{12} (3 + \sqrt{5}) s^{3}$	$5 \sqrt{3} s^{2}$	${(\frac{{(3 + \sqrt{5})}^{2} π}{60 \sqrt{3}})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.939$
Тела с осевой симметрией
Конус $(h = 2 \sqrt{2} r)$	$\frac{1}{3} π r^{2} h$ $= \frac{2 \sqrt{2}}{3} π r^{3}$	$π r (r + \sqrt{r^{2} + h^{2}})$ $= 4 π r^{2}$	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.794$
Полусфера	$\frac{2}{3} π r^{3}$	$3 π r^{2}$	${(\frac{16}{27})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.840$
Цилиндр $(h = 2 r)$	$π r^{2} h = 2 π r^{3}$	$2 π r (r + h) = 6 π r^{2}$	${(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.874$
Тор $(R = r)$	$2 π^{2} R r^{2} = 2 π^{2} r^{3}$	$4 π^{2} R r = 4 π^{2} r^{2}$	${(\frac{9}{4 π})}^{\frac{1}{3}} \approx 0.894$
Сфера	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$4 π r^{2}$	$1$