Тождество восьми квадратов

Тождество восьми квадратов — следующее тождество, выражающее произведение сумм восьми квадратов в виде суммы восьми квадратов:

$\begin{array}{c}(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)\cdot (b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2+b_5^2+b_6^2+b_7^2+b_8^2)=\\ =(a_1{b}_1-a_2{b}_2-a_3{b}_3-a_4{b}_4-a_5{b}_5-a_6{b}_6-a_7{b}_7-a_8{b}_8{)}^2+\\ +(a_2{b}_1+a_1{b}_2+a_4{b}_3-a_3{b}_4+a_6{b}_5-a_5{b}_6-a_8{b}_7+a_7{b}_8{)}^2+\\ +(a_3{b}_1-a_4{b}_2+a_1{b}_3+a_2{b}_4+a_7{b}_5+a_8{b}_6-a_5{b}_7-a_6{b}_8{)}^2+\\ +(a_4{b}_1+a_3{b}_2-a_2{b}_3+a_1{b}_4+a_8{b}_5-a_7{b}_6+a_6{b}_7-a_5{b}_8{)}^2+\\ +(a_5{b}_1-a_6{b}_2-a_7{b}_3-a_8{b}_4+a_1{b}_5+a_2{b}_6+a_3{b}_7+a_4{b}_8{)}^2+\\ +(a_6{b}_1+a_5{b}_2-a_8{b}_3+a_7{b}_4-a_2{b}_5+a_1{b}_6-a_4{b}_7+a_3{b}_8{)}^2+\\ +(a_7{b}_1+a_8{b}_2+a_5{b}_3-a_6{b}_4-a_3{b}_5+a_4{b}_6+a_1{b}_7-a_2{b}_8{)}^2+\\ +(a_8{b}_1-a_7{b}_2+a_6{b}_3+a_5{b}_4-a_4{b}_5-a_3{b}_6+a_2{b}_7+a_1{b}_8{)}^2.\end{array}$

История

Впервые открытое датским математиком Шаблон:Нп1 около 1818 года, это замечательное тождество было переоткрыто дважды: Шаблон:Нп1 в 1843 году и Артуром Кэли в 1845 году. Кэли вывел его, работая над обобщением кватернионов, названным октонионами. В алгебраических терминах тождество означает, что норма произведения двух октонионов равняется произведению их норм: $\Vert a\cdot b\Vert =\Vert a\Vert \cdot \Vert b\Vert$.

Подобное утверждение верно для кватернионов («тождество четырёх квадратов»), комплексных чисел («тождество Диофанта — Брахмагупты — Фибоначчи») и действительных чисел. В 1898 году Адольф Гурвиц доказал, что ни для 16 (седенионы), ни для любого другого количества квадратов, кроме 1, 2, 4 и 8, подобного тождества не существует.

Ссылки

• Degen’s eight-square identityШаблон:Ref-en