Функтор обратного образа

Функтор обратного образа — это ковариантная конструкция пучков. Функтор прямого образа является первичной операцией на пучках, с простым определением. Обратный образ обладает более тонкими свойствами.

Определение

Пусть нам дан пучок $𝒢$ на $Y$ и мы хотим перенести $𝒢$ на $X$, используя непрерывное отображение $f:X\to Y$.

Мы будем называть результат обратным образом $f^{-1}𝒢$. Если мы попытаемся имитировать определение прямого образа и положим

$f^{-1}𝒢(U)=𝒢(f(U)),$

для каждого открытого множества $U$ в $X$, мы немедленно столкнёмся с проблемой: $f(U)$ не обязательно открыто. Лучшее, что мы можем сделать — это приблизить его открытыми множествами, и даже в этом случае мы получим предпучок, а не пучок. Таким образом, мы определяем $f^{-1}𝒢$ как пучок, ассоциированный с предпучком

$U\mapsto \underset{V\supseteq f(U)}{\underrightarrow{\lim }}𝒢(V).$

(Здесь $U$ — открытое подмножество $X$ и копредел берётся по всем открытым подмножествам $V$ пространства $Y$, сожержащим $f(U)$.)

Например, если $f$ — это просто вложение точки $y$ в $Y$, то $f^{-1}(ℱ)$ — это слой пучка $ℱ$ в этой точке.

Существование отображений ограничения, как и функториальность обратного образа, следуют из универсального свойства прямых пределов.

Когда рассматриваются морфизмы локально окольцованных пространств $f:X\to Y$, например схем в алгебраической геометрии, часто работают с пучками ${𝒪}_Y$-модулей, где ${𝒪}_Y$ — структурный пучок $Y$. Тогда функтор $f^{-1}$ не подходит, так как результат его применения, вообще говоря, не является пучком ${𝒪}_X$-модулей. Чтобы исправить это, в этой ситуации для пучка ${𝒪}_Y$-модулей $𝒢$ его обратный образ определяется по правилу

$f^{*}𝒢:=f^{-1}𝒢{\otimes }_{f^{-1}{𝒪}_Y}{𝒪}_X$.

Свойства

• Хотя $f^{-1}$ определяется сложнее, чем $f_{\ast }$, его слои вычисляются проще: для точки $x\in X$, имеем $(f^{-1}𝒢{)}_x\cong {𝒢}_{f(x)}$.
• $f^{-1}$ — точный функтор, как видно из приведённого выше вычисления слоёв.
• $f^{*}$, вообще говоря, только точен справа. Если $f^{*}$ точен, f называется плоским.
• $f^{-1}$ сопряжён слева к функтору прямого образа $f_{\ast }$, то есть существует естественный изоморфизм

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝐒𝐡(X)}(f^{-1}𝒢,ℱ)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝐒𝐡(Y)}(𝒢,f_{*}ℱ)$.

Литература

• Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.