Пучок модулей

В математике, пучок модулей — это пучок над окольцованным пространством $(X,O_X)$, обладающий структурой модуля над структурным пучком $O_X$.

Определение

Для окольцованного пространства $(X,O_X)$, пучок $O_X$-модулей (или просто $O_X$-модуль) — это пучок $F$ над $X$, такой что $F(U)$ является $O_X(U)$-модулем для каждого открытого множества $U$, и для каждого открытого множества $V$, содержащегося в $U$, отображение ограничения $F(U)\to F(V)$ согласовано со структурой модулей: для каждых $a\in O_X(U),f\in F(U)$ имеем

$(af){|}_V=a{|}_{V}f{|}_V$.

Морфизмом $O_X$-модулей $F\to G$ называется морфизм пучков, такой, что для любого открытого множества $U$ отображение $F(U)\to G(U)$ является морфизмом $O_X(U)$-модулей.

Примеры

• Структурный пучок $O_X$ является $O_X$-модулем. Пучок $O_X$-модулей, являющийся подпучком пучка $O_X$, называется пучком идеалов на $X$.
• Если $f:F\to G$ — морфизм $O_X$-модулей, то ядро, образ и коядро $f$ являются $O_X$-модулями.
• Любые прямые суммы, прямые произведения, прямые и обратные пределы $O_X$-модулей являются $O_X$-модулями. Пучок $O_X$-модулей называется свободным, если он изоморфен прямой сумме нескольких копий $O_X$. Пучок $O_X$-модулей $F$ называется локально свободным (ранга $r$) если у каждой точки $X$ существует открытая окрестность, на которой $F$ свободен (изоморфен прямой сумме $r$ копий пучка $O_X$). Локально свободный пучок ранга 1 называется также обратимым пучком.
• Если $F,G$ — пучки $O_X$-модулей, можно определить пучок морфизмов из $F$ в $G$ следующим образом:$U\mapsto Ho{m}_{O_X(U)}(F(U),G(U)).$ Двойственный $O_X$-модуль к $O_X$--модулю $F$ — это модуль морфизмов из $F$ в $O_X$.
• Пучок, ассоциированный с предпучком $U\to F(U){\otimes }_{O_X(U)}G(U)$ обозначается $F{\otimes }_{O_X}G$. Его слой в точке $x$ канонически изоморфен $F_x{\otimes }_{O_{X,x}}{G}_x$. Аналогично определяется симметрическое и внешнее произведение.

Литература

• Шаблон:Книга
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas». Publications Mathématiques de l’IHÉS. 4, 1960.