Цепочка уравнений Боголюбова

Шаблон:Значения Цепочка уравнений Боголюбова (цепочка ББГКИ, иерархия ББГКИ, цепочка уравнений Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона) — система уравнений эволюции системы, состоящей из большого числа тождественных взаимодействующих частиц, заключенных в некотором объёме $V$. Последовательность уравнений ББГКИ выражает эволюцию s-частичной функции распределения через (s+1)-частичную функцию распределения. Названа в честь Боголюбова, Борна, Грина, Кирквуда и Шаблон:Не переведено (Yvon).

Формулировка

Рассмотрим систему из $N$ частиц с парным взаимодействием, находящуюся во внешнем поле. Пусть ${𝐪}_i,{𝐩}_i$ — обобщенные координаты и импульсы i-ой частицы, ${\mathrm{\Phi }}^{ext}({𝐪}_i)$ — потенциал взаимодействия с внешнем полем, ${\mathrm{\Phi }}_{ij}({𝐪}_i,{𝐪}_j)$ — потенциал (парного) взаимодействия частиц. Функция распределения полной системы $f_N=f_N({𝐪}_1\dots {𝐪}_N,{𝐩}_1\dots {𝐩}_N,t)$ удовлетворяет уравнению Лиувилля

$\frac{\partial f_N}{\partial t}+\sum _{i=1}^N{\dot{𝐪}}_i\frac{\partial f_N}{\partial {𝐪}_i}+\sum _{i=1}^N(-\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_i^{ext}}{\partial {𝐪}_i}-\sum _{j=1}^N\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_{ij}}{\partial {𝐪}_i})\frac{\partial f_N}{\partial {𝐩}_i}=0$

Рассматриваемая цепочка уравнений получается последовательным интегрированием уравнения Лиувилля по части переменных. В результате уравнение для s-частичной функции распределения $f_s=f_s({𝐪}_1\dots {𝐪}_s,{𝐩}_1\dots {𝐩}_s,t)$ имеет вид:

$\frac{\partial f_s}{\partial t}+\sum _{i=1}^s{\dot{𝐪}}_i\frac{\partial f_s}{\partial {𝐪}_i}+\sum _{i=1}^s(-\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_i^{ext}}{\partial {𝐪}_i}-\sum _{j=1}^s\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_{ij}}{\partial {𝐪}_i})\frac{\partial f_s}{\partial {𝐩}_i}=\sum _{i=1}^s(N-s)\frac{\partial }{\partial {𝐩}_i}\int \frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_{is+1}}{\partial {𝐪}_i}{f}_{s+1}d{𝐪}_{s+1}d{𝐩}_{s+1}$

Применение

Полученная цепочка зацепляющихся уравнений эквивалентна исходному уравнению Лиувилля и тем самым не описывает необратимость. К тому же, сложность её решения совпадает со сложностью решения уравнения Лиувилля. Однако при её обрыве и некоторых дополнительных предположениях симметричность по времени исчезает, как например при получении из цепочки ББГКИ классических и квантовых кинетических уравнений, и в частности, уравнения Больцмана. Подобные упрощения делают иерархию ББГКИ отправной точкой для многих кинетических теорий.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Уравнение Лиувилля
• Уравнение Больцмана
• Уравнение Власова
• Уравнение Фоккера — Планка