Просмотр кода страницы Теорема Хана — Банаха

'''Теоре́мой [[Хан, Ханс|Ха́на]] — [[Стефан Банах|Ба́наха]]''' называют несколько связанных между собой классических результатов [[функциональный анализ|функционального анализа]], в частности
*Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением [[мажоранта|мажоранты]]; 
*Теорему о разделении [[Выпуклое множество|выпуклых множеств]];
*Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала.

== Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты ==
{{теорема|
Пусть <math>X</math> — [[векторное пространство|векторное]] пространство над полем действительных чисел <math>\mathbb R</math> и <math>p:X\to \mathbb R</math> — положительно однородный [[субаддитивный функционал]]. Для любого подпространства <math>Y</math> [[векторное пространство|векторного пространства]] <math>X</math> каждый [[линейный функционал]] <math>f:Y\to \mathbb R</math>, удовлетворяющий условию

<center><math> f(y) \leqslant p(y), \forall y \in Y</math>,</center>
 
может быть продолжен на все пространство <math>X</math> с сохранением этого неравенства.
}}

Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в [[Математическая энциклопедия|Математической энциклопедии]]) или субаддитивности функционала <math>p</math> для справедливости этой теоремы недостаточно.

[[Контрпример]] для положительно однородного функционала: <math>X=\mathbb R</math>, <math>Y=\{0\}</math>, <math>p(x):=-|x|, x\in X, f(0)=0</math>.

Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем [[Комплексное число|комплексных чисел]], когда <math>p</math> — [[полунорма]].

== Теорема о непрерывном продолжении линейного функционала ==
{{теорема|Всякий линейный ограниченный функционал <math>f</math>, определённый на линейном многообразии <math>Y</math> линейного [[нормированное пространство|нормированного пространства]] <math>X</math>, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.}}

Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

{{теорема|Для любых двух различных точек линейного [[нормированное пространство|нормированного пространства]] или [[локально выпуклое пространство|локально выпуклого пространства]] существует [[линейный непрерывный функционал]], определённый на всем пространстве, для которого его значения в этих точках различны.}}

== Доказательство ==
Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть <math>z\in X\setminus Y</math>. Рассмотрим линейное пространство вида:

: <math>Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}.</math>
Продолжение <math>f</math> на <math>Y_z</math> запишем:
: <math>\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),</math>

где <math>\tilde f(z)</math> — [[вещественное число]], которое необходимо определить.
Для произвольных <math>y_1, y_2\in Y</math> и <math>a,b>0</math> выполняется:
: <math>f(ay_1+by_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant</math>

: <math>{} \leqslant (a+b)p  \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) = </math>

: <math>{}= (a+b)p  \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant </math>

: <math> \leqslant a p(y_1-bz) + b p(y_2+az).</math>

Отсюда
: <math>a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)</math>
Как следствие
: <math>\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant 
\frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.
</math>

Определим <math>c\in \R</math> так
: <math>\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \leqslant
\inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.
</math>

Выполняется равенство
: <math>ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R</math>.

Определим
: <math>\tilde f(z)=c.</math>
Для всех <math>y\in Y</math> и произвольных <math>a\in \R</math> выполняется неравенство:

: <math>\tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az),</math>

поэтому
: <math>\tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.</math>

Для завершения доказательства используем [[Лемма Куратовского — Цорна|лемму Цорна]]. Пусть <math>E</math> является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является [[Частично упорядоченное множество|частично упорядоченным]] из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное [[подмножество]] имеет супремум (объединение [[Область определения функции|областей определения]]). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

== См. также ==
* [[Выпуклый функционал]]
* [[Банаховы пределы]]

== Литература ==
* ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
* ''Пугачев В. С.'' Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.
* ''Рид М., Саймон Б.'' Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
* ''Рудин У.'' Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
* ''Вайнберг М. М.'' Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.

== Примечания ==
{{примечания}}

{{rq|refless}}

[[Категория:Функциональный анализ]]
[[Категория:Теоремы функционального анализа|Хана — Банаха]]