Функции Крылова

Функции Крылова (функции Крылова — Дункана) — система из четырёх функций, представляющих собой общее решение дифференциального уравнения: Шаблон:Нумерованная формула Общее решение уравнения (1) при $a\ge 0$ выражается как линейная комбинация четырёх функций:

$y(x)=C_1\cdot {\mathrm{K}}_1(\beta x)+C_2\cdot {\mathrm{K}}_2(\beta x)+C_3\cdot {\mathrm{K}}_3(\beta x)+C_4\cdot {\mathrm{K}}_4(\beta x)$,

где $\beta =\sqrt[4]{a}$.

Обычно в качестве функций ${\mathrm{K}}_1(x)$, ${\mathrm{K}}_2(x)$, ${\mathrm{K}}_3(x)$, ${\mathrm{K}}_4(x)$ используются $e^x$, $e^{-x}$, $\sin x$ и $\cos x$, но в задачах теории упругости используются функции ${\mathrm{K}}_1(x)$, ${\mathrm{K}}_2(x)$, ${\mathrm{K}}_3(x)$, ${\mathrm{K}}_4(x)$ специального вида, называемые функциями Крылова в честь математика А. Н. Крылова, который применил эти функции для описания изгиба балки, лежащей на упругом основании. Иногда их обозначают символами $\mathrm{S}(x)$, $\mathrm{T}(x)$, $\mathrm{U}(x)$, $\mathrm{V}(x)$.

Независимо были введены английским учёным У. Дж. Дунканом.

Определение

Графики функций Крылова

Функции Крылова выражаются следующим образом:

${\mathrm{K}}_1(x)=\frac{1}{2}(\mathrm{ch}x+\cos x)$,

${\mathrm{K}}_2(x)=\frac{1}{2}(\mathrm{sh}x+\sin x)$,

${\mathrm{K}}_3(x)=\frac{1}{2}(\mathrm{ch}x-\cos x)$,

${\mathrm{K}}_4(x)=\frac{1}{2}(\mathrm{sh}x-\sin x)$.

Основное свойство функций Крылова в том, что производная от любой из них даёт предыдущую:

${\mathrm{K}}_1(x)={{\mathrm{K}}_2}^{\prime }(x)={{\mathrm{K}}_3}^{″}(x)={{\mathrm{K}}_4}^{‴}(x)={\mathrm{K}}_1^{IV}(x)$.

Кроме того выполнены следующие начальные условия: при $x=0$, первая функция равна 1, а все остальные равны 0:

${\mathrm{K}}_1(0)=1$, ${\mathrm{K}}_2(0)={\mathrm{K}}_3(0)={\mathrm{K}}_4(0)=0$.

Функции Крылова — Власова

При $a<0$ решение уравнения (1) выражается через функции

${\mathrm{\Phi }}_1(x)=\mathrm{ch}x\cdot \cos x$,

${\mathrm{\Phi }}_2(x)=\mathrm{sh}x\cdot \sin x$,

${\mathrm{\Phi }}_3(x)=\mathrm{sh}x\cdot \cos x$,

${\mathrm{\Phi }}_4(x)=\mathrm{ch}x\cdot \sin x$,

которые называются функциями Крылова — Власова в честь В.З. Власова. Общим решением уравнения (1) при $a<0$ является линейная комбинация четырёх функций ${\mathrm{\Phi }}_i(\beta x)$ (при $i=1,2,3,4$), где $\beta =\sqrt[4]{-a/4}$.

Чаще при решении задач используются различные комбинации функций Крылова — Власова, которые также называют функциями Крылова:

${\mathrm{V}}_1(x)=\mathrm{ch}x\cdot \cos x={\mathrm{\Phi }}_1(x)$,

${\mathrm{V}}_2(x)=\frac{1}{2}(\mathrm{ch}x\cdot \sin x+\mathrm{sh}x\cdot \cos x)=\frac{1}{2}({\mathrm{\Phi }}_4(x)+{\mathrm{\Phi }}_3(x))$,

${\mathrm{V}}_3(x)=\frac{1}{2}\mathrm{sh}x\cdot \sin x=\frac{1}{2}{\mathrm{\Phi }}_2(x)$,

${\mathrm{V}}_4(x)=\frac{1}{4}(\mathrm{ch}x\cdot \sin x-\mathrm{sh}x\cdot \cos x)=\frac{1}{4}({\mathrm{\Phi }}_4(x)-{\mathrm{\Phi }}_3(x))$.

Основные свойства функций Крылова в этом случае почти сохраняются:

${\mathrm{V}}_1(x)={{\mathrm{V}}_2}^{\prime }(x)={{\mathrm{V}}_3}^{″}(x)={{\mathrm{V}}_4}^{‴}(x)=-\frac{1}{4}{\mathrm{V}}_1^{IV}(x)$.

${\mathrm{V}}_1(0)=1$, ${\mathrm{V}}_2(0)={\mathrm{V}}_3(0)={\mathrm{V}}_4(0)=0$.

См. также

• Тригонометрические функции
• Гиперболические функции

Литература

• Крылов А. Н. О расчёте балок, лежащих на упругом основании. — Л.: АН СССР, 1931. — 154 с.