Аксиоматическая квантовая теория поля

Аксиоматическая квантовая теория поля (Аксиоматическая теория поля) — подход в квантовой теории поля, основанный на использовании физических аксиом, сформулированных в строгой математической форме.

Его достоинством является то, что он позволяет дедуктивным методом, в качестве следствий соответствующих теорем (например, теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремыШаблон:Sfn), вывести наблюдаемые экспериментально физические следствия, вытекающие из физических представлений о пространстве-времени, сформулированных в виде математических аксиом и, таким образом, проверить сами эти исходные представления. Также он позволяет логически проверять и уточнять при необходимости исходные положения квантовой теории поля.

Его недостатком является то, что кроме теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремы, из него не удаётся получить других конкретных, проверяемых на опыте, следствий (например, не удаётся построить теорию взаимодействующих полей а также нетривиальную теорию S-матрицыШаблон:Sfn).

В аксиоматической квантовой теории поля, как правило, используется квантовомеханическое представление ГейзенбергаШаблон:Sfn, в котором зависимость от времени описывается операторами, а векторы состояний не зависят от времени.

Аксиомы квантовой теории поля

Связь между математическими объектами и физическими наблюдаемыми

Состояния физической системы описываются нормированными лучами в оснащённом гильбертовом пространстве с положительно определённой метрикой. Каждой измеряемой физической величине $a$ ставится в соответствие самосопряжённый оператор $A$. Если величине $a$ соответствует оператор $A$, то величине $f(a)$ соответствует оператор $f(A)$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Релятивистская инвариантность

Средние значения физических наблюдаемых $\overline{a}=(\mathrm{\Psi },A\mathrm{\Psi })$ не изменяются относительно собственных преобразований ПуанкареШаблон:SfnШаблон:Sfn. Векторы состояний преобразуются по представлениям универсальной накрывающей группы Пуанкаре (теорема Баргмана-Вигнера)Шаблон:Sfn.

Постулат локальности

Постулат локальности является выражением релятивистского принципа причинности. Измерения составляющих поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, независимы. Математически это означает, что операторы поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, либо коммутируют, либо антикоммутируют между собойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

${[{\phi }_j(x),{\phi }_k(y)]}_{\pm }={[{\phi }_j(x),{\phi }_k^{*}(y)]}_{\pm }=0$ при $(x-y{)}^2<0$

Здесь знак коммутации «-» соответствует тензорному бозонному полю, знак антикоммутации «+» соответствует спинорному фермионному полю (теорема о связи спина со статистикой).

Принцип спектральности

Представление универсальной накрывающей группы Пуанкаре, которое реализуется в гильбертовом пространстве векторов состояния, разлагается на неприводимые представления лишь трёх классовШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• $P^2=m^2>0,P_0>0$ — элементарные частицы с положительной массой.

• $P^2=0,P\ne 0,P_0>0$ — элементарные частицы с нулевой массой.

• $P=0$ — все унитарные представления этого класса, кроме тождественного, бесконечномерны. Тождественное представление соответствует вакууму.

Здесь $P^2$ — квадрат оператора четырёхмерного импульса, $m$ — масса элементарной частицы, $P_0$ — первая компонента оператора четырёхмерного импульса.

Нерешённые проблемы аксиоматической квантовой теории поля

• Основная проблема аксиоматической квантовой теории поля. Неизвестна теория, удовлетворяющая всем аксиомам аксиоматической квантовой теории поля и описывающая взаимодействующие поля и нетривиальную матрицу рассеянияШаблон:Sfn.
• Неизвестно описание класса обобщённых функций $F_4$, удовлетворяющих условию для двухточечной функции УайтманаШаблон:Sfn:$\int \int \int f(x_2,x_1)f(x_3,x_4)F_4(x_1-x_2,x_2-x_3,x_3-x_4)\prod _{i=1}^4{d}^4{x}_i⩾0$.

Подходы к построению аксиоматической квантовой теории поля

Существует два основных подхода, обеспечивающих точную математическую формулировку и аксиоматизируемость квантовой теории поля: алгебраический и топологический.

Функториальная квантовая теория поля (FQFT)

FQFT формализует картину Шредингера квантовой механики (обобщенной на квантовую теорию поля), где пространства квантовых состояний присваиваются пространству, и где линейные отображения присваиваются траекториям или пространственно-временной интерполяции между этими пространствами.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга