Гармоническая ёмкость

Гармоническая ёмкость — характеристика множества, измеряющая способность предмета данной формы удерживать электрический заряд.

Определение

Гармоническая ёмкость $C(K)$ компактного подмножества $K\subset {ℝ}^n$ определяется как точная нижняя грань интеграла

$C(K)=\underset{u}{\inf }\{\underset{{ℝ}^n}{\int }|\mathrm{\nabla }u{|}^2\mathrm{d}x\}$

по всем липшицевским функциям $u:{ℝ}^n\to ℝ$ таким, что $u(x)=1$ для любого $x\in K$ и $u(x)\to 0$ при $|x|\to \mathrm{\infty }$.

Замечания

• Точная верхняя грань достигается для функции $u(x)$, гармонической в дополнении ${ℝ}^n\setminus K$; отсюда название.

Свойства

• Гармоническая ёмкость монотонна по включению; то есть, если $K\subset K^{\prime }$, то $C(K)⩽C(K^{\prime })$.

Литература

• Шаблон:Книга:Математическая энциклопедия

См. также

• Электрическая ёмкость