Гармоническая ёмкость

Гармоническая ёмкость — характеристика множества, измеряющая способность предмета данной формы удерживать электрический заряд.

Определение

Гармоническая ёмкость $C (K)$ компактного подмножества $K \subset ℝ^{n}$ определяется как точная нижняя грань интеграла

C (K) = \inf_{u} {\int_{ℝ^{n}} | \nabla u |^{2} d x}

по всем липшицевским функциям $u : ℝ^{n} \to ℝ$ таким, что $u (x) = 1$ для любого $x \in K$ и $u (x) \to 0$ при $| x | \to \infty$ .

Точная верхняя грань достигается для функции $u (x)$ , гармонической в дополнении $ℝ^{n} ∖ K$ ; отсюда название.

Гармоническая ёмкость монотонна по включению; то есть, если $K \subset K^{'}$ , то $C (K) ⩽ C (K^{'})$ .