Интегральный синус

Файл:Sine integral ru.svg

График интегрального синуса для 0 ≤ x ≤ 8π.

Интегра́льный си́нус — специальная функция, определяемая интегралом:

$\mathrm{Si}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt.$

Иногда также пользуются обозначением $\mathrm{si}x:$

$\mathrm{si}x=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt=\mathrm{Si}x-\frac{\pi }{2}.$

Интегральный синус может быть определён через интегральную показательную функцию по аналогии с синусом:

$\mathrm{si}x=\frac{1}{2i}(\mathrm{Ei}(ix)-\mathrm{Ei}(-ix)).$

Интегральный синус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.

Свойства

• Интегральный синус — нечётная функция:

$\mathrm{Si}(-x)=-\mathrm{Si}x.$

• Интегральный синус имеет асимптоты:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Si}x=\frac{\pi }{2},$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{si}x=0,$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Si}x=-\frac{\pi }{2},$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{si}x=-\pi .$

• Интегральный синус имеет локальные экстремумы в точках $x=\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\cdots$

Разложение в ряд

$\mathrm{Si}x=x-\frac{x^3}{3\cdot 3!}+\frac{x^5}{5\cdot 5!}-\frac{x^7}{7\cdot 7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!(2n+1)}{x}^{2n+1}.$

Этот ряд применяется для практического вычисления интегрального синуса, причём в соответствии c теоремой Лейбница погрешность будет меньше модуля последнего взятого члена этого ряда.

См. также

• Интегральный косинус
• Интегральный логарифм
• Интегральная показательная функция

Литература

• Шаблон:Книга