Матрица Тёплица

Матрица Тёплица (диагонально-постоянная матрица) — матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы:

$A=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \dots & \dots & a_{-n+1}\\ a_1& a_0& a_{-1}& \ddots & & ⋮\\ a_2& a_1& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & a_{-1}& a_{-2}\\ ⋮& & \ddots & a_1& a_0& a_{-1}\\ a_{n-1}& \dots & \dots & a_2& a_1& a_0\end{array}\right]$,

то есть выполняется соотношение:

$a_{i,j}=a_{i-1,j-1}$.

Названы в честь немецкого математика Отто Тёплица.

Пример

Матрица 4×5:

$M=\left(\begin{array}{ccccc}4& 5& 6& 7& 8\\ 3& 4& 5& 6& 7\\ 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& 2& 3& 4& 5\end{array}\right)$

Свойства

Две матрицы Тёплица можно сложить за $O(n)$ операций. Матрицу Тёплица можно умножить на вектор за $O(n\log n)$ операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за $O(n^2)$ операций.

Шаблон:ЯкорьТёплицева система линейных уравнений, то есть система вида $Ax=b$, где $A$ — тёплицева матрица, может быть решена методом Левинсона за время $O(n^2)$.

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье: оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей.

См. также

• Циркулянт
• Ганкелева матрица

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья