Циркулянт

Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида

$C=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\\ a_n& a_1& \cdots & a_{n-1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_2& a_3& \cdots & a_1\end{array}\right),$

где все $a_i$ — комплексные числаШаблон:Sfn. Циркулянт можно также кратко описать как $C_{ij}=a_{j-i+1(\mathrm{mod}n)},i,j=1,\dots ,n$Шаблон:Sfn. Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.

Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицыШаблон:Sfn.

Свойства

Пусть $A$ и $B$ — циркулянтные матрицы. Тогда выполняются следующие свойства.

• $AB=BA$ и $AB$ — циркулянт.
• Матрицы $\bar{A}$ (поэлементно комплексно сопряжённая), $A^{\mathrm{T}}$ (транспонированная) и $A^{*}$ (эрмитово сопряжённая) — циркулянтные.
• Матрица $A^k$ циркулянтная при $k⩾0$.
• Если $A$ невырождена, то $A^{-1}$ циркулянтная.
• Матрица $A$ — персимметричная и нормальная.

Определитель

Обозначим $\zeta$ первообразный корень из единицы степени $n$. Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта $C$:

$\det C=\prod _{k=0}^{n-1}(a_1+a_2{\zeta }^k+\dots +a_{n-1}{\zeta }^{k(n-2)}+a_n{\zeta }^{k(n-1)}).$

Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора $(a_1,\dots ,a_n)$Шаблон:Sfn.

Примеры

Для $n=2$ определитель циркулянта равен:

$\det \left(\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_2& a_1\end{array}\right)=(a_1-a_2)(a_1+a_2)=a_1^2-a_2^2.$

Для $n=3,{\zeta }^3=1,\zeta \ne 1$:

$\det \left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ a_3& a_1& a_2\\ a_2& a_3& a_1\end{array}\right)=(a_1+a_2+a_3)(a_1+a_2\zeta +a_3{\zeta }^2)(a_1+a_2{\zeta }^2+a_3\zeta )=a_1^3+a_2^3+a_3^3-3a_1{a}_2{a}_3.$

Связанные определения

Антициркулянт

Антициркулянт — это матрица аналогичного видаШаблон:Sfn:

$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& -a_n& -a_{n-1}& \cdots & -a_2\\ a_2& a_1& -a_n& \cdots & -a_3\\ a_3& a_2& a_1& \cdots & -a_4\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots & a_1\end{array}\right).$

Косоциркулянт

Матрица вида

$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& \phi a_n& \phi a_{n-1}& \cdots & \phi a_2\\ a_2& a_1& \phi a_n& \cdots & \phi a_3\\ a_3& a_2& a_1& \cdots & \phi a_4\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots & a_1\end{array}\right)$

называется $\phi$-косоциркулянтом порядка $n$ при $\phi \ne 0$Шаблон:Sfn.

Очевидно, что циркулянт является $(1)$-косоциркулянтом, а антициркулянт — $(-1)$-косоциркулянтом.

См. также

• Ганкелева матрица

Ссылки

• Шаблон:MathWorld

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга