Дифферинтеграл Вейля

В математике дифферинтеграл Вейля - это оператор, определённый на интегрируемых функциях f единичного круга ($2\pi$ — периодичных) с нулевым средним (т. е. интеграл от f по периоду равен 0). Другими словами функция f может быть разложена в ряд Фурье:

$f(\phi )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{in\phi }$

где $a_0=0$, или:

$f(\phi )=\sum {\text{'}}_n{a}_n{e}^{in\phi }$,

где символ $\sum {\text{'}}_n$ обозначает суммирование по всем натуральным $n$ кроме 0.

Интеграл Вейля порядка $\alpha >0$ определяется на разложении в ряд Фурье как:

$f^{\alpha }(\phi )=\sum {\text{'}}_n\frac{a_n{e}^{in\phi }}{(in{)}^{\alpha }}$,

а производная Вейля порядка $\beta >0$ определяется как:

$f_{\beta }(\phi )=\frac{{\partial }^n}{\partial {\phi }^n}{f}_{n-\beta }(\phi )$.

Таким образом, дифферинтеграл Вейля определён полностью.

Условие $a_0=0$ необходимо в этих определениях, так как в противном случае возникало бы деление на 0.

Данное определение было введено Германом Вейлем в 1917 году.

См. также

• Пространство Соболева

Ссылки

• Lizorkin, P.I. (2001), "Fractional integration and differentiation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104