Матрицы Гелл-Манна

Ма́трицы Гелл-Ма́нна — генераторы группы SU(3). Названы по имени Мюррея Гелл-Мана. Всего их восемь:

${\lambda }_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 0\end{array}\right)$
${\lambda }_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$	${\lambda }_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$

Каждому из восьми глюонов сопоставляется матрица Гелл-Манна.

Свойства

Произведение:

${\lambda }_a{\lambda }_b=\frac{2}{3}{\delta }_{ab}𝐄+d_{abc}{\lambda }_c+i{f}_{abc}{\lambda }_c$,

где

• $d_{abc},f_{abc}$ — структурные константы алгебры su(3);
• $𝐄$ — единичная матрица 3×3;
• ${\delta }_{ab}$ — символ Кронекера.

След произведения:

$\mathrm{Sp}{\lambda }_a{\lambda }_b=2{\delta }_{ab}$,

Коммутатор:

$[{\lambda }_a,{\lambda }_b{]}_{-}=2i{f}_{abc}{\lambda }_c$

Антикоммутатор:

$[{\lambda }_a{\lambda }_b{]}_{+}=\frac{4}{3}{\delta }_{ab}𝐄+2d_{abc}{\lambda }_c$

Также для матриц Гелл-Манна выполняются тождества Фирца.

См. также

• Тождества Фирца

Литература

• Шаблон:Из