Критерий Фридмана

Критерий Фридмана (Шаблон:Lang-en) — непараметрический статистический тест, разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом. Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления $c$ условий измерения ($c⩾3$) для $n$ объектов (испытуемых) с ранжированием по индивидуальным значениям измеренийШаблон:Sfn. Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA.

Задача

Дана выборка из $c$ измерений для каждого из $n$ испытуемых, которую можно представить в виде таблицыШаблон:SfnШаблон:Sfn:

	Условия
№ объекта	$1$	$2$	$\dots$	$c$
$1$	$x_{11}$	$x_{21}$	$\dots$	$x_{c1}$
$2$	$x_{12}$	$x_{22}$	$\dots$	$x_{c2}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$
$n$	$x_{1n}$	$x_{2n}$	$\dots$	$x_{cn}$

В качестве нулевой гипотезы $H_0$ рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия»Шаблон:Sfn. Выбирается уровень значимости $\alpha$, например, $\alpha =0,01$ (вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу).

Проверка гипотезы

Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги $r_{ij}$ объекта $x_{ij}$ при ранжировке $x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{cj}$Шаблон:Sfn:

	Ранги
№ объекта	$1$	$2$	$\dots$	$c$
$1$	$r_{11}$	$r_{21}$	$\dots$	$r_{c1}$
$2$	$r_{12}$	$r_{22}$	$\dots$	$r_{c2}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$
$n$	$r_{1n}$	$r_{2n}$	$\dots$	$r_{cn}$

Получим суммы рангов и введём другие обозначения:

$R_i=\sum _{j=1}^n{r}_{ij}$

${\overline{R}}_i=\frac{R_i}{n}$

$\overline{\overline{R}}=\frac{c+1}{2}$

Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику:

$S=\frac{12n}{c(c+1)}\sum _{i=1}^c({\overline{R}}_i-\overline{\overline{R}}{)}^2$,

которую можно записать также в виде:

$S=\frac{12}{nc(c+1)}\sum _{i=1}^c{R}_i^2-3n(c+1)$

Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое:

$S<S_{\alpha }(n,c)$

Для малых значений $n$ и $c$ для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости $\alpha$ (или доверительной вероятностиШаблон:Sfn $1-\alpha$).

При $n⩾13$ и $c⩾20$ применима аппроксимация — $\alpha$-квантиль распределения хи-квадрат с $c-1$ степенями свободыШаблон:Sfn:

$S_{\alpha }(n,c)\approx {\chi }_{\alpha }^2(c-1)$

Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации $\alpha$-квантилью распределения Фишера или применить статистику Имана-ДавенпортаШаблон:Sfn.

Примеры

Классические примеры применения:

• $n$ дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия?
• Сварные швы, сделанные $n$ сварщиками с использованием $c$ сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок?

Апостериорный анализ

Апостериорный анализ (Шаблон:Lang-en) был предложен Шайхом и Хамерли (1984), а также Коновер (1971, 1980) для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних рангов.

Программная реализация

Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных (SPSS, R и других).

Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS и R.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья