Преобразование последовательностей

Преобразование последовательностей — оператор, действующий на Шаблон:Нп3. Преобразование последовательностей включает в себя такие понятия, как свёртка одной последовательности с другой, их суммирование и биномиальные преобразования, а также преобразования Мёбиуса и Шаблон:Нп3. Преобразования последовательности могут использоваться для ускорения сходимости ряда.

Определение

Пусть дана последовательность $S=\{s_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}.$ Её преобразование обозначается $𝐓(S)=S^{\prime }=\{s{\text{'}}_n{\}}_{n\in \mathbb{N}},$ где

${s_n}^{\prime }=T(s_n,s_{n+1},\dots ,s_{n+k}),$

причём и $s_n$, и $s{\text{'}}_n$ являются либо вещественными, либо комплексными числами. Также можно в общем случае считать их элементами векторного пространства.

Преобразованная последовательность $s{\text{'}}_n$ сходится быстрее, чем $s_n$, если

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{s{\text{'}}_n-\ell }{s_n-\ell }=0,$

где

$\ell$ — предел сходящейся последовательности $S$.

Если отображение $T(s)$ линейно по каждому своему аргументу, то есть если

$s{\text{'}}_n=\sum _{m=0}^k{c}_m{s}_{n+m},$

для некоторых констант $c_0,\cdots ,c_k$, то преобразование $T(s)$ называется линейным преобразованием последовательности. Если это условие не соблюдается, то преобразование называется нелинейным.

Примеры

• Биномиальные преобразования;
• преобразования Мёбиуса;
• Шаблон:Нп3;
• Шаблон:Нп3.

Литература

• Hugh J. Hamilton, "Mertens' Theorem and Sequence Transformations", AMS (1947)
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Transformations of Integer Sequences Шаблон:Wayback, a subpage of the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences