Модель Бозе — Хаббарда

Модель Бозе — Хаббарда даёт примерное описание физики взаимодействия бозонов на пространственной решётке. Она тесно связана с моделью Хаббарда, возникшей в физике твёрдого тела как приближённое описание сверхпроводящих систем и движения электронов между атомами твёрдого кристаллического вещества. Слово Бозе указывает на тот факт, что частица в системе — бозон. Впервые модель была введена Х. Гершем (Шаблон:Lang-en) и Г. Ноллмэном (Шаблон:Lang-en) в 1963 году, модель Бозе — Хаббарда может использоваться при изучении систем подобных бозонным атомам в оптической решётке. В противоположность этому, модель Хаббарда применима к фермионам (электронам), а не бозонам. Кроме того, модель обобщается на сочетания Бозе- и Ферми-частиц, в этом случае, в соответствии с гамильтонианом, модель будет называться моделью Бозе — Ферми — Хаббарда.

Гамильтониан

Физика этой модели описывается гамильтонианом Бозе — Хаббарда в представлении вторичного квантования:

$\hat{H}=-t\sum _{⟨i,j⟩}(b_i^{†}{b}_j+b_j^{†}{b}_i)+\frac{U}{2}\sum _i{\hat{n}}_i({\hat{n}}_i-1)-\mu \sum _i{\hat{n}}_i,$

где индекс i обозначает суммирование по всем узлам решётки трёхмерной решётки, а $⟨i,j⟩$ означает суммирование по всем узлам j соседствующим с i. $b_i^{†}$ и $b_i^{}$ — бозонные операторы рождения и уничтожения. Оператор ${\hat{n}}_i=b_i^{†}{b}_i$ задаёт число частиц в узле i. Параметр t — это матричный элемент перехода, имеющий смысл подвижности бозонов в решётке. Параметр U описывает локальное взаимодействие частиц находящихся в одном узле, если U>0, то он описывает потенциал отталкивания и если U<0, то описывает притяжение, $\mu$ — химический потенциал. Данный гамильтониан не рассматривает эффекты, которые малы в термодинамическом пределе, а именно, когда размер системы и число узлов стремятся к бесконечности. В то же время плотность узлов остаётся конечной.

Размерность Гильбертова пространства модели Бозе — Хаббарда растёт экспоненциально по отношению к числу частиц N и узлов решётки L. Она определяется по формуле: $D_b=\frac{(N_b+L-1)!}{N_b!(L-1)!}$, в то время как в модели Ферми — Хаббарда задаётся формулой: $D_f=\frac{L!}{N_f!(L-N_f)!}.$ Различные результаты следуют из различия статистики для фермионов и бозонов. Для смеси Бозе- и Ферми-частиц, соответствующее гильбертово пространство в модели Бозе — Ферми — Хаббарда — это прямое тензорное произведение гильбертовых пространств бозонной модели и фермионной модели.

Фазовая диаграмма

При нулевой температуре, модель Бозе — Хаббарда (при отсутствии беспорядка) находится либо в состоянии изолятора Мотта — состояние с малым t/U, либо в сверхтекучем состоянии — с большим t/U. Изолятор Мотта характеризуется целочисленной плотностью бозонов, наличием запрещённой зоны для возбуждений частица-дырка и нулевой сжижаемостью. При наличии беспорядка, присутствует третья фаза «стекло Бозе». Она характеризуется конечной сжижаемостью, отсутствием запрещённой зоны, бесконечной сверхтекучестью. Это изолирующее состояние, несмотря на наличие ширины запрещённой зоны, из-за того, что низкая вероятность туннелирования предотвращает образование возбуждений, которые хотя и близки по энергиям, но пространственно разделены.

Реализация в оптических решётках

Ультрахолодные атомы в оптических решётках считаются стандартной реализацией модели Бозе — Хаббарда. Возможность изменения параметров модели при помощи простых экспериментальных методов, отсутствие динамики решётки в электронных системах — всё это обеспечивает очень хорошие условия по экспериментальному изучению этой модели.

Гамильтониан в формализме вторичного квантования описывает газ из ультрахолодных атомов в оптической решётке в следующем виде:

$H=\int d^3\overrightarrow{r}{\hat{\psi }}^{†}(\overrightarrow{r})(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V_{latt.}(x))\hat{\psi }(\overrightarrow{r})+\frac{g}{2}\int d^3\overrightarrow{r}{\hat{\psi }}^{†}(\overrightarrow{r}){\hat{\psi }}^{†}(\overrightarrow{r})\hat{\psi }(\overrightarrow{r})\hat{\psi }(\overrightarrow{r})-\mu \int d^3\overrightarrow{r}{\psi }^{†}(\overrightarrow{r})\hat{\psi }(\overrightarrow{r}),$

где $V_{latt}$ — оптический потенциал решётки, g — амплитуда взаимодействия (здесь предполагается контактное взаимодействие), $\mu$ — химический потенциал. Стандартное приближение сильно связанных электронов

$\hat{\psi }(\overrightarrow{r})=\sum _i{w}_i^{\alpha }(\overrightarrow{r})b_i^{\alpha }$

даёт гамильтонианы Бозе — Хаббарда, если дополнительно допустить, что

$\int w_i^{\alpha }(\overrightarrow{r})w_j^{\beta }(\overrightarrow{r})w_k^{\gamma }(r)w_l^{\delta }(\overrightarrow{r})d^3\overrightarrow{r}=0$

за исключением случаев $i=j=k=l,\alpha =\beta =\gamma =\delta =0$. Здесь $w_i^{\alpha }(\overrightarrow{r})$ — это Шаблон:Нп3 для частицы в потенциале оптической решётки, локализованном вокруг узла i решётки и для $\alpha$ Блоховской зоны.

Тонкие различия и приближения

Приближение сильно связанных электронов существенно упрощает вторичное квантование гамильтониана, в то же время вводя ряд ограничений:

• Параметры U и J на самом деле могут зависеть от плотности, как отброшенные члены, они фактически не равны нулю; вместо одного параметра U, энергия взаимодействия частиц n может быть описана следующим: $U_n$ примерно, но не равно U
• При рассмотрении быстрой динамики решётки, к гамильтониану Бозе — Хаббарда должны быть добавлены дополнительные условия, так что будет исполняться уравнение Шрёдингера. Оно выходит из зависимости функций Ванье от времени.

Экспериментальные результаты

Квантовые фазовые переходы в модели Бозе — Хаббарда экспериментально наблюдались группой учёных из Греньера (Greiner) и др. в Германии. Параметры взаимодействия $U_n$, зависящие от плотности, наблюдались группой Шаблон:Нп3.

Дальнейшие приложения модели

Модель Бозе — Хаббарда также представляет интерес для тех, кто работает в области квантовых вычислений и квантовой информации. С помощью этой модели можно исследовать запутанность ультрахолодных атомов.

Численное моделирование

При вычислении низкоэнергетических состояний член, пропорциональный $n^{2}U$, что большое заниание одной стороны маловероятно, позволяя усекать местное гильбертово пространство к состояниям, содержащим не более $d<\mathrm{\infty }$ частиц. Тогда локальная размерность гильбертова пространства будет $d+1.$ Размерность полного гильбертового пространства растёт экспоненциально с числом мест в решётке, поэтому компьютерным моделированием огрничиваются системы из 15-20 частиц в 15-20 узлах решётки. Экспериментальные системы содержат несколько миллионов сторон решётки со средним заполнением выше единицы. Для численной симуляции этой модели, алгоритм точной диагонализации представлен в работе под сноской.

Одномерные решётки могут быть рассмотрены методом Шаблон:Нп3 и связанными с этим методиками, такой как алгоритм Шаблон:Нп3. Это включает в себя расчёт фонового состояния гамильтониана для систем из тысяч частиц на сторонах решётки и моделирование её динамики, регулирумой уравнение Шрёдингера. Высшие мерности решётки моделировать значительно сложнее при повышении запутанности.

Все мерности могут рассматриваться алгоритмами Шаблон:Нп3, которые дают возможность изучать свойства тепловых состояний гамильтониана, а также конкретное фоновое состояние.

Обобщения

Подобные Бозе — Хаббарда гамильтонианы могут быть получены для:

• систем с плотность-плотность взаимодействиями $V{n}_i{n}_j$
• дальним дипольным взаимодействием
• внутренней спиновой структурой (спин-1 модели Бозе — Хаббарда)
• неупорядоченных систем

См. также

• Модель Хаббарда