Третья краевая задача

Задача Робена, задача Ньютона, третья краевая задача, задача импедансного типа — разновидность краевой задачи для дифференциальных уравнений. Названа в честь французского математика Шаблон:Iw и британского физика Исаака Ньютона.

Постановка задачи

В самом общем виде задача ставится следующим образом: решить дифференциальное уравнение в частных производных, вида

$Lu=f(𝐱)$ в области $\mathrm{\Omega }$

При граничных условиях следующего вида:

${(au+b\frac{\partial u}{\partial 𝐧})|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=g(𝐱)$

Такая задача называется третьей краевой задачей.

Физическая интерпретация

Поскольку третьи краевые задают связь между искомой функцией и её нормальной производной на границе области, то в зависимости от решаемой задачи используются разные способы задания и интерпретации третьих краевых:

• Для уравнения теплопроводности задаются в виде $-\lambda \frac{\partial u}{\partial 𝐧}=\beta (u-u_{\beta }(𝐱))$ — теплообмен по закону Ньютона-Рихмана.
• Для скалярных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, задаётся в похожем виде $-{\mu }^{-1}\frac{\partial E}{\partial 𝐧}=\beta (E-u_{\beta }(𝐱))$ (если уравнение относительно напряжённости электрического поля) и означает связь между электрическим и магнитным полем на границе области.
• Для векторных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла записать третьи краевые, с учётом связи $𝐇={\mu }^{-1}\mathrm{\nabla }\times 𝐄$, можно следующим образом:

$-𝐄\times 𝐧+\sigma (𝐇\times 𝐧)\times 𝐧=Q(𝐄\times 𝐧+\sigma (𝐇\times 𝐧)\times 𝐧)+𝐠=0$

Аналитическое решение

Аналитическое решение третьей краевой задачи можно найти с помощью теории потенциала.

Численное решение

В каждом численном методе решения дифференциальных уравнений свои особенности учёта третьих краевых, например:

• В методе конечных разностей строится разностная схема вида $a{u}_i+R{u}_i=g({𝐱}_i)$, где $R$ — разностный оператор и полученное уравнение добавляется в систему.
• В методе конечных элементов третьи краевые являются естественными и учитываются на уровне вариационной постановки, получаются добавки в матрицу и в правую части:

$\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\beta {\phi }_i(𝐱){\phi }_j(𝐱)dx$ — добавка в $i$-й, $j$-й элемент матрицы;

$\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\beta u_{\beta }(𝐱){\phi }_i(𝐱)dx$ — добавка в $i$-й элемент правой части.

См. также

• Задача Дирихле
• Задача Неймана