Теорема Виртингера

Теорема Виртингера — теорема о геометрических свойствах многомерного комплексного пространства. Устанавливает вид дифференциальной формы, измеряющей объёмы комплексных многообразий. Была доказана Вильгельмом Виртингером в 1936 году.

Формулировка

Пусть $M\subset C^n$ — многообразие класса $C^1$ чётной вещественной размерности $2m$. Объём этого многообразия:

$VolM⩾\frac{1}{m!}\underset{M}{\int }{\phi }_0^m$,

причём равенство здесь достигается в том и только том случае, когда $M$ — комплексное $m$-мерное многообразие.

Здесь дифференциальная форма ${\phi }_0=\frac{i}{2}\sum _{\nu =1}^{n}d{z}_{\nu }\wedge \overline{d{z}_{\nu }}=\frac{i}{2}\partial \overline{\partial }{\left|z\right|}^2$, где ${\left|z\right|}^2=\sum z_{\nu }\overline{z_{\nu }}$ — евклидов квадрат модуля.

Литература

• Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ, часть II, Функции нескольких переменных. — М.: Наука, 1985. — стр. 133.