Неперов логарифм

График неперова логарифма для значений аргумента от 0 до 10⁸

Под неперовым логарифмом (Шаблон:Lang-en (Naperian) logarithm), как правило, понимают натуральный логарифм. Сам Джон Непер, имя которого носит функция, описал функцию, не совпадающую с современным натуральным логарифмом (см. ниже). Поэтому под неперовым логарифмом могут понимать и ту функцию, которую он использовал:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(x)=\frac{\log \frac{10^7}{x}}{\log \frac{10^7}{10^7-1}}.$

Это частное от деления логарифмов, поэтому выбор основания не принципиален. Согласно современному пониманию, это выражение не является логарифмом. Однако его можно переписать следующим образом:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(x)={\log }_{\frac{10^7}{10^7-1}}10^7-{\log }_{\frac{10^7}{10^7-1}}x$

что есть линейная функция конкретного логарифма. Она обладает многими свойствами логарифма в его современном понимании, например:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(xy)=\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(x)+\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(y)-161180950$

Свойства

Неперов логарифм связан с натуральным:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(x)\approx 9999999.5(16.11809565-\ln x)$

Также он связан с десятичным логарифмом:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(x)\approx 23025850(7-{\log }_{10}x).$

При этом

$16.11809565\approx 7\ln \left(10\right)$

и

$23025850\approx 10^7\ln (10).$

См. также

• История логарифмов

Литература

Источники

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Ссылки

• Denis Roegel (2012) Napier’s Ideal Construction of the Logarithms Шаблон:Wayback на Loria Collection of Mathematical Tables.