Десятичный логарифм

График десятичного логарифма

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа $b$ есть решение уравнения $10^x=b.$

Вещественный десятичный логарифм числа $b$ существует, если $b>0$ (комплексный десятичный логарифм существует для всех $b\ne 0$). Международный стандарт ISO 31-11 обозначает его $\lg b$. Примеры:

$\lg 1=0;\lg 10=1;\lg 100=2$

$\lg 1000000=6;\lg 0,1=-1;\lg 0,001=-3$

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: $\log ,\mathrm{Log},\mathrm{Log10}$, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительныШаблон:Sfn:

	Формула	Пример
Произведение	$\lg (xy)=\lg (x)+\lg (y)$	$\lg (10000)=\lg (100\cdot 100)=\lg (100)+\lg (100)=2+2=4$
Частное от деления	$\lg \left(\frac{x}{y}\right)=\lg (x)-\lg (y)$	$\lg \left(\frac{1}{1000}\right)=\lg (1)-\lg (1000)=0-3=-3$
Степень	$\lg (x^p)=p\lg (x)$	$\lg (10000000)=\lg (10^7)=7\lg (10)=7$
Корень	$\lg \sqrt[p]{x}=\frac{\lg (x)}{p}$	$\lg \sqrt{1000}=\frac{1}{2}\lg 1000=\frac{3}{2}=1,5$

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

$\lg |xy|=\lg (|x|)+\lg (|y|),$

$\lg \left|\frac{x}{y}\right|=\lg (|x|)-\lg (|y|),$

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

$\lg (x_1{x}_2\dots x_n)=\lg (x_1)+\lg (x_2)+\dots +\lg (x_n)$

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел $x,y$ с помощью логарифмических таблицШаблон:Переход производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел $x,y$.
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения $x\cdot y$.
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмовШаблон:Sfn:

$\ln x\approx 2,30259\lg x;\lg x\approx 0,43429\ln x$

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

$\lg 0,012=\lg (10^{-2}\times 1,2)=-2+\lg 1,2\approx -2+0,079181=-1,920819$

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

$\lg 0,012\approx -2+0,079181=\overline{2},079181$

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: $y=\lg x.$ Она определена при всех $x>0.$ Область значений: $E(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$. График этой кривой часто называется логарифмикой.

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

$\frac{d}{dx}\lg x=\frac{\lg e}{x}$

Ось ординат $(x=0)$ является вертикальной асимптотой, поскольку:

$\underset{x\to 0+0}{\lim }\lg x=-\mathrm{\infty }$

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа $x$ (характеристику логарифма) $[\lg x]$ легко определить.

• Если $x⩾1$, то $[\lg x]$ на 1 меньше числа цифр в целой части числа $x$. Например, сразу очевидно, что $\lg 345$ находится в промежутке $(2,3)$.
• Если $0<x<1$, то ближайшее к $\lg x$ целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в $x$ перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, $\lg 0,0014$ находится в интервале $(-3,-2)$.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на $n$ разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на $n.$ Например:

$\lg 8314,63=\lg 8,31463+3$

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от $1$ до $10$Шаблон:Sfn. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральнымШаблон:Sfn. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10^C

Число	Логарифм	Характеристика	Мантисса	Запись
n	lg(n)	C	M = lg(n) − C
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	Шаблон:Overline.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	Шаблон:Overline.698 970...

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел $n$ одна и та же мантисса $M$, поскольку:

$\lg (n)=\lg (x\times 10^C)=\lg (x)+\lg \left(10^C\right)=\lg (x)+C$,

где $1<x<10$ — значащая часть числа $n$.

Десятичная логарифмическая шкала на логарифмической линейке

История

Шаблон:Main

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера)Шаблон:Sfn.

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература

Теория логарифмов

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

История логарифмов

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Десятичные (бригсовы) логарифмы.Шаблон:Ref-en