Мультиоператорная группа

Мультиоператорная группа — произвольная алгебра, снабжённая групповой структурой, обобщающая понятия группы, кольца, тела, Шаблон:Iw (которая, в свою очередь, обобщает модули над кольцами, в частности, векторные пространства).

Введена в 1956 году английским математиком Филипом ХиггинсомШаблон:Sfn как наиболее универсальная структура, в которой всякая конгруэнция представляется разложением на смежные классы по идеалам, а также для которой может быть определено понятие коммутанта.

Другие примеры мультиоператорых групп — почтикольцо и Шаблон:Iw. Также изучены специальные универсальные классы мультиоператорных групп — мультиоператорные кольцаШаблон:Переход и мультиоператорные алгебрыШаблон:Переход.

Определения

Мультиоператорная группа или $\mathrm{\Sigma }$-группа — алгебра $𝔊=⟨G,+,-,0,\mathrm{\Sigma }⟩$, образующая группу $⟨G,+,-,0⟩$, притом для всякой $n$-арной операции $\sigma \in \mathrm{\Sigma }$ выполнено $\sigma (0,\dots ,0)=0$, то есть $\{0\}$ образует подсистему в $𝔊$. Принимается, что часть сигнатуры $\mathrm{\Sigma }$ не содержит нульарных операций. Иногда мультиоператорная группа называется по своей дополнительной сигнатуре — $\mathrm{\Sigma }$-группа.

Нормальная подгруппа $N$ группы $⟨G,+,-,0⟩$ называется идеалом мультиоператорной группы $𝔊=⟨G,+,-,0,\mathrm{\Sigma }⟩$, если для любой $n$-арной операции $\sigma \in \mathrm{\Sigma }$, произвольных $g_i\in G$ ($1⩽i⩽n$) и $a\in N$ все элементы вида:

$-\sigma (g_1,\dots ,g_n)+\sigma (g_1,\dots ,g_{i-1},a+g_i,g_{i+1},\dots ,g_n)$

вновь принадлежат $N$. Может использоваться обозначение $N◃𝔊$ по аналогии с обозначениями нормальной подгруппы и идеала кольца. Мультиоператорная группа называется простой, если у неё существует только два идеала — сама группа и нулевая подгруппа.

Шаблон:ЯкорьКоммутатор элементов $g_1,g_2$ мультиоператорной группы $𝔊=⟨G,+,-,0,\mathrm{\Sigma }⟩$ определяется как элемент $-g_1-g_2+g_1+g_2$, обозначается $[g_1,g_2]$.

Коммутант мультиоператорной группы — идеал, порождённый всеми коммутаторами $[g,h]$ и элементами вида:

$-\sigma (g_1,\dots ,g_n)-\sigma (h_1,\dots ,h_n)+\sigma (g_1+h_1,\dots ,g_n+h_n)$

для всякой $n$-арной операции $\sigma \in \mathrm{\Sigma }$ из дополнительной сигнатуры мультиоператорной группы.

Свойства идеала

Шаблон:Main Для групп идеал мультиоператорной группы совпадает с понятием нормальной подгруппы, а для колец и структур на их основе — с понятием двустороннего идеала.

Всякий идеал мультиоператорной группы является её подсистемой. Пересечение любой системы идеалов $\{N_i\mid i\in I\}$ мультиоператорной группы $𝔊=⟨G,+,-,0,\mathrm{\Sigma }⟩$ вновь является её идеалом, притом этот идеал $N=\bigcap N_i$ совпадает с подгруппой группы $⟨G,+,-,0⟩$, порождённой этими идеалами.

Основное свойство идеала — всякая конгруэнция на мультиоператорной группе описывается разложениями на смежные классы по некоторому идеалу, иными словами, о факторсистеме мультиоператорной группы (мультиоператорной факторгруппе) можно говорить как о конструкции, производящей новую мультиоператорную группу по её идеалу.

Специальные классы мультиоператорных групп

Шаблон:ЯкорьМультиоператрное кольцо — мультиоператорная группа $𝔊=⟨G,+,-,0,\mathrm{\Sigma }⟩$, аддитивная группа которой абелева и каждая $n$-арная операция $\sigma \in \mathrm{\Sigma }$ дистрибутивна относительно группового сложения:

$\sigma (g_1,\dots ,g_i+h_i,\dots ,g_n)=\sigma (g_1,\dots ,g_i,\dots ,g_n)+\sigma (g_1,\dots ,h_i,\dots ,g_n)$

для любых $g_i,h_i\in G$.

Шаблон:ЯкорьМультиоператорная алгебра — мультиоператорное кольцо, все унарные операции дополнительной сигнатуры $\mathrm{\Sigma }$ которой образуют поле ${\mathrm{\Sigma }}_1$, притом структура является векторным пространством над этим полем и для всех $\lambda \in {\mathrm{\Sigma }}_1$, всех $n$-арных операций арности больше единицы $\sigma \in \mathrm{\Sigma }\setminus {\mathrm{\Sigma }}_1$ и произвольных элементов $g_i\in G$ выполнено:

$\lambda \sigma (g_1,\dots ,g_i,\dots ,g_n)=\sigma (\lambda g_1,\dots ,g_i,\dots ,g_n)=\sigma (g_1,\dots ,\lambda g_i,\dots ,g_n)=\sigma (g_1,\dots ,g_i,\dots ,\lambda g_n)$.

Как и другие мультиоператорные структуры, в тексте часто идентифицируется дополнительной сигнатурой: мультиоператорная $\mathrm{\Sigma }$-алгебра (в данном случае и для избежания неоднозначности между алгеброй над кольцом, специальным обобщением которой является, и алгеброй в универсальном смысле).

Идеалами мультиоператорных колец и алгебр являются подгруппы $N◃G$, в которых наличие элемента $g_i\in N$ влечёт содержание в них также всех элементов вида $\sigma (g_1,\dots ,g_i,\dots ,g_n)\in N$Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Общая алгебра
• Шаблон:МатЭнц