Гипотеза Ферма — Каталана

Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает, что уравнение

$a^m+b^n=c^k$

имеет не более чем конечное число решений $a,b,c,m,n,k$ с различными тройками значений $a^m,b^n,c^k$, где $a,b,c$ — натуральные взаимно простые числа, а $m,n,k$ — натуральные числа, удовлетворяющие соотношению

$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1.$

На 2014-й год известно всего 10 решений этого уравнения:

$1^m+2^3=3^2$

$2^5+7^2=3^4$

$13^2+7^3=2^9$

$2^7+17^3=71^2$

$3^5+11^4=122^2$

$33^8+1549034^2=15613^3$

$1414^3+2213459^2=65^7$

$9262^3+15312283^2=113^7$

$17^7+76271^3=21063928^2$

$43^8+96222^3=30042907^2$

Решение $1^m+2^3=3^2$ — это единственное решение, в котором одно из $a,b,c$ равно 1. В этом состоит гипотеза Каталана, доказанная в 2006-м году Шаблон:Нп5.

Все решения были найдены для троек показателей $m,n,k,$ равных $(2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(3,3,4),(3,3,5),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4,n)$.

По теореме Фальтингса для любых фиксированных натуральных $m,n,k$, удовлетворяющих неравенству $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1$, существует не более чем конечное число троек $a,b,c$, удовлетворяющих уравнению $a^m+b^n=c^k$, но гипотеза Ферма — Каталана строже, поскольку утверждает конечность числа решений для бесконечного множества троек $m,n,k$.

abc-гипотеза влечет гипотезу Ферма — Каталана.

Гипотеза Била состоит в том, что все решения уравнения Ферма — Каталана имеют один из показателей равный 2.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld

Литература

• Шаблон:Книга