Abc-гипотеза

Шаблон:Mvar-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году и Джозефом Эстерле в 1988 году. Доказательство Шаблон:Mvar-гипотезы — одна из главных нерешённых проблем теории чисел.

Формулировка

Для любого $\epsilon >0$ существует постоянная $K(\epsilon )$, при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел $a$, $b$ и $c$, таких, что $a+b=c$, выполняется неравенство

$\max (|a|,|b|,|c|)⩽K(\epsilon )\cdot (\mathrm{rad}(abc){)}^{1+\epsilon },$

где $\mathrm{rad}(abc)$ — радикал числа $abc$, то есть число, равное произведению простых делителей произведения $abc$.

Замечания

• Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа $a$, $b$ и $c$. Тогда неравенство сводится к следующему:

  $c⩽K(\epsilon )\cdot (\mathrm{rad}(abc){)}^{1+\epsilon }.$

• Условие $\epsilon >0$ необходимо. Для любого $K$ существует тройка взаимно простых чисел $a,b,c=a+b$ таких, что $c>K\cdot \mathrm{rad}(abc)$. Например тройка вида $a=1,b=2^{2\cdot 3^n}-1,c=2^{2\cdot 3^n}$, где $K<3^{n-1}$.

Следствия

Гипотеза Била и Великая теорема Ферма

Из справедливости Шаблон:Mvar-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших $z$, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней.

Гипотезы Пиллаи и Каталана

Из справедливости Шаблон:Mvar-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

Попытки доказательства

В 2007 году французский математик Шаблон:Не переведено 5, работами которого была вдохновлена сама Шаблон:Mvar-гипотеза, заявил, что ему удалось найти доказательство, однако вскоре было обнаружено, что оно ошибочно.

Доказательство Мотидзуки

В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать Шаблон:Mvar-гипотезу. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов.

Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки. Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным в научном сообществе. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств, в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки.

В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с Шаблон:Mvar-гипотезой и работами Мотидзуки, — объявили, что в ключевом для доказательства Шаблон:Mvar-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется непоправимая ошибка. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения.

В 2021 году доказательство Мотидзуки было опубликовано в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS) научно-исследовательского института математических наук при Киотском университете (это институт, в котором работает Мотидзуки), но так и не получило признания математического сообщества.

См. также

• Гипотеза Холла
• Теорема Мэйсона — Стотерса

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Лекции про ABC-гипотезу (by Keith Conrad): Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4.
• Р. Борчердс, Шаблон:YouTube.