Гипотеза Холла

Гипотеза Холла — нерешённая на 2015 г. теоретико-числовая гипотеза об оценке сверху для решений диофантова уравнения Морделла $y^2=x^3+k$ при заданном $k\ne 0$. Имеет несколько формулировок разной силы. Была сформулирована Холлом в 1971 г.

Формулировка и уточнения

Первоначальная формулировка такова:

Существует константа $C>0$, такая что если $y^2=x^3+k$ для $x,y,k\in \mathbb{Z}$ и $k\ne 0$, то $|x|⩽C|k{|}^2$.

Из конкретных решений разных уравнений для разных $k$ можно получать оценки снизу для $C$. Наиболее сильный пример был найден Элкисом в 1998:

$447884928428402042307918^2-5853886516781223^3=-1641843$

Из него следует оценка $C>2171$. Это делает гипотезу неправдоподобной в такой формулировке, хотя эта формулировка и не опровергнута.

Старк и Троттер в 1980 предположили ослабленный вариант гипотезы Холла:

Для любого $ϵ>0$ существует константа $C(ϵ)>0$, такая что если $y^2=x^3+k$ для $x,y,k\in \mathbb{Z}$ и $k\ne 0$, то $|x|⩽C(ϵ)|k{|}^{2+ϵ}$.

Ввиду неправдоподобности первоначального варианта гипотеза Холла теперь гипотезой Холла называется её ослабленный вариант с $ϵ$.

Доказано, что показатель 2 в оценке нельзя уменьшить — гипотеза становится неверной для оценки вида $|x|⩽C|k{|}^{2-ϵ}$ (Данилов, 1982).

Теорема Дэвенпорта — Аналог гипотезы Холла для многочленов

В 1965 Дэвенпорт доказал аналог гипотезы Холла для многочленов:

Если $g(t{)}^2=f(t{)}^3+k(t)$, где $k(t)\ne \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},f(t),g(t)\ne 0$, то $\mathrm{deg}f(t)⩽2(\mathrm{deg}k(t)-1)$.

Эта теорема сразу следует из Шаблон:Iw, аналога ABC-гипотезы для многочленов: Пусть $a(t),b(t),c(t)$ — попарно взаимно простые неконстантные многочлены, такие, что $a+b=c$, тогда

$\max \{\mathrm{deg}(a),\mathrm{deg}(b),\mathrm{deg}(c)\}⩽\mathrm{deg}(\mathrm{rad}(abc))-1.$

Здесь $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(f)$ — радикал многочлена, то есть произведение его различных простых множителей.

Подстановка $c=g^2$, $a=f^3$, $b=k$ даёт 2 неравенства:

$3\mathrm{deg}f,2\mathrm{deg}g⩽\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g+\mathrm{deg}k-1$,

из которых и получается теорема.

Связь с ABC-гипотезой

Гипотеза Холла следует из ABC-гипотезы. Из ABC-гипотезы сразу следует даже более сильная, т. н. радикальная гипотеза Холла:

Для любого $ϵ>0$ существует константа $C(ϵ)>0$, такая что если $y^2=x^3+k$ для $x,y,k\in \mathbb{Z}$ и $k\ne 0$, $\text{НОД}(x,y)=1$ то $|x|⩽C(ϵ)\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(k{)}^{2+ϵ}$.

Здесь $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(k)$ — радикал целого числа $k$.

Оказывается, из радикальной гипотезы Холла также следует ABC-гипотеза. Однако это утверждение нетривиально.

Обобщение гипотезы Холла на другие степени — это гипотеза Пиллаи.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• A page on the problem Шаблон:Wayback by Noam Elkies
• Table of good examples of Marshall Hall’s conjecture by Ismael Jimenez Calvo.