Теорема Мэйсона — Стотерса

Теорема Мэйсона — Стотерса — аналог abc-гипотезы для многочленов. Названа в честь Стотерса, который опубликовал её в 1981 году, и Мейсона, который вновь открыл её после этого.

Формулировка

Пусть $a(t),b(t),c(t)$ — попарно взаимно простые многочлены над полем, такие что $a+b=c$ и хотя бы один из них имеет ненулевую производную. Тогда

$\max \{\mathrm{deg}(a),\mathrm{deg}(b),\mathrm{deg}(c)\}⩽\mathrm{deg}(\mathrm{rad}(abc))-1.$

Здесь $\mathrm{rad}f$ — радикал многочлена, это произведение различных неприводимых множителей $f$. Для алгебраически замкнутых полей радикал многочлена $f$ это многочлен минимальной степени с тем же множеством корней, что и у $f$; в этом случае $\mathrm{deg}\mathrm{rad}f$ это просто число различных корней $f$.

Примеры

• Над полями характеристики 0 условие, что хотя бы одна производная $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ ненулевая равносильно тому, что хотя бы один многочлен — не константа. Над полями характеристики $p>0$ недостаточно требовать, чтобы все $a,b,c$ были неконстантными. Например, тождество $1+t^p=(1+t{)}^p$ даёт пример, где $\max \{\mathrm{deg}(a),\mathrm{deg}(b),\mathrm{deg}(c)\}=p$, а $\mathrm{deg}(\mathrm{rad}(abc))=2$.
• Если взять $a(t)=t^n,c(t)=(t+1{)}^n$, то мы получим пример, в котором в теореме Мейсона — Стотерса достигается равенство, что показывает, что оценка в теореме в некотором смысле неулучшаема.
• Простым следствием теоремы Мейсона — Стотерса является аналог великой теоремы Ферма для полей функций: если $a(t{)}^n+b(t{)}^n=c(t{)}^n$ для попарно взаимно простых $a,b,c$ над полем характеристики, не делящей $n$, и $n>2$, то хотя бы один из $a,b,c$ нулевой или все константы.

Доказательство

Из условия $a+b=c$ следует, что $b^{\prime }a-b{a}^{\prime }=c^{\prime }a-a^{\prime }c$ и $a^{\prime }b-a{b}^{\prime }=c^{\prime }b-c{b}^{\prime }$. Обозначим $W=a^{\prime }b-a{b}^{\prime }$. Отсюда следует, что $\text{НОД}(a,a^{\prime }),\text{НОД}(b,b^{\prime }),\text{НОД}(c,c^{\prime })$ делит $W$. Поскольку все НОДы попарно взаимно просты, то их произведение делит $W$.

Ясно также, что $W\ne 0$. От противного: если $W=0$, то $a^{\prime }b=a{b}^{\prime }$, значит $a$ делит $a^{\prime }$, поэтому $a^{\prime }=0$ (поскольку $\mathrm{deg}a>\mathrm{deg}{a}^{\prime }$ при любом неконстантном $a$). Аналогично получаем, что $b^{\prime }=0,c^{\prime }=0$, что противоречит условию.

Из обоих утверждений получаем, что

$\mathrm{deg}\text{НОД}(a,a^{\prime })+\mathrm{deg}\text{НОД}(b,b^{\prime })+\mathrm{deg}\text{НОД}(c,c^{\prime })⩽\mathrm{deg}W$

По определению $W$ имеем $\mathrm{deg}W⩽\mathrm{deg}a+\mathrm{deg}b-1$ , значит

$\mathrm{deg}\text{НОД}(a,a^{\prime })+\mathrm{deg}\text{НОД}(b,b^{\prime })+\mathrm{deg}\text{НОД}(c,c^{\prime })⩽\mathrm{deg}a+\mathrm{deg}b-1$

Для любого многочлена $P$ верно, что $\mathrm{deg}P-\mathrm{deg}\mathrm{rad}(P)⩽\mathrm{deg}\text{НОД}(P,P^{\prime })$. Подставляя сюда $P=a,b,c$ и подставляя в неравенство выше, получаем

$\mathrm{deg}abc-\mathrm{deg}(\mathrm{rad}(a)\mathrm{rad}(b)\mathrm{rad}(c))⩽\mathrm{deg}a+\mathrm{deg}b-1$

мы получаем, что

$\mathrm{deg}c⩽\mathrm{deg}\mathrm{rad}(abc)-1$

что и требовалось.

Снайдер дал элементарное доказательство теоремы Мейсона-Стотерса.

Обобщения

Существует естественное обобщение, в котором кольцо многочленов заменены на одномерные поля функций.

Пусть $k$ — алгебраически замкнутое поле характеристики 0, пусть $C/k$ — гладкая проективная кривая рода $g$, и пусть $a,b\in k(C)$ — рациональные функции на $C$, такие что $a+b=1$, и пусть $S$ — множество точек в $C(k)$, содержащее все нули и полюсы $a,b$. Тогда

$\max \{\mathrm{deg}(a),\mathrm{deg}(b)\}⩽\max \{|S|+2g-2,0\}.$

Здесь степень функции в $k(C)$ это степень отображения, индуцированного из $C$ в $P^1$.

Это было доказано Мэйсоном, альтернативное более короткое доказательство в том же году было опубликовано Сильверманом.

Существует дальнейшее обобщение, данное Voloch и независимо Brownawell и Массером, которое даёт верхнюю оценку для уравнений $a_1+\dots +a_n=1$, для которых верно, что нет подмножеств $a_i$, которые являются $k$-линейно независимыми. При этих предположениях они доказали, что

$\max \{\mathrm{deg}(a_1),\dots ,\mathrm{deg}(a_n)\}⩽\frac{1}{2}n(n-1)\max \{|S|+2g-2,0\}.$

Внешние ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Mason-Stothers Theorem and the ABC Conjecture